在学习过程中，很多同学在遇到这样的问题时容易犯错误：

例 f(x)的定义域为[2,3]，求f(x+1)的定义域

答案究竟是[1,2]还是[3,4]呢?很多同学会在这个问题上踌躇。有些时候一些小问题弄不明白其实反映的是知识体系上的一个大缺漏。在这个问题上踌躇说明同学对复合函数的定义还并没有理解透彻，因此顺着这样一条线索我们来一同复习一下复合函数相关的知识要点。

一、复合函数的概念

从映射的角度来说，复合函数f(g(x))就是从一个集合D先通过对应关系f映射到集合A，再从A通过对应关系g映射到集合B上。其中x的定义域为集合D，f(g(x))的值域为集合B。从函数的嵌套这一角度来说，就相当于从集合D中取一个x值，先算出g(x)的值再带入f()里头进行计算得到的结果。

实际出现的比较容易让人混淆的复合函数，其特征主要是f()括号内部类似x，却不是x。例如f(-x)、f(x+1)等，其实都是复合函数。请注意，只有f()括号内部是x，而不是其他值的时候，f(x)才不是复合函数，否则请一律以复合函数对待。

二、复合函数的定义域

首先我们必须明确定义域这个概念指的是什么。在这里，很多同学混淆了定义域和使对应关系f有意义的范围这两个概念。定义域指的是自变量可以取值的范围。而使对应关系f有意义的范围则代表f()那个括号里头可以代入的一切有意义的值，并没有对自变量作出要求。例如f(x)=1/x，其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，而使对应关系f有意义的范围与之相同。然而对于函数f(x+1)，其定义域应该是自变量可以取值的范围，而自变量x=-1时x+1=0，导致分母为0，因此x≠-1，故定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)，然而使对应关系f有意义的范围依然是(-∞,0)∪(0,+∞)。

区分清楚这两点之后，我们便可以解决本文开头的问题。题目所给对应关系f有意义的范围是[2,3]，而我们将f(x+1)看成复合函数f(g(x))，为使得f(g(x))有意义，g(x)∈[2,3]，于是解得x∈[1,2]。

一般地，复合函数f(g(x))定义域的求法应遵循如下两条步骤：

1、 求出f(x)的定义域

2、 根据g(x)的值域为f(x)定义域的子集，列出并解出不等式，得到f(g(x))的定义域。

例如，

例1 f(x)=log2(x2-1)，求f(2x)的定义域

解：

易得在f(x)中应满足x2-10，于是可解得f(x)定义域为(1,+∞)。(求出f(x)定义域)

为使g(x)值域为f(x)定义域的子集，应有2x1，解得x0。(得到f(g(x))定义域)

三、复合函数的单调区间与值域

复合函数单调性的讨论也是复合函数问题的一个重点。通过讨论单调区间我们可以很容易得出函数在每个区间的最值，从而得到函数值域。因此讨论单调区间在分析函数上意义比较重要。

由于单调性是函数三条性质(单调、奇偶、周期)中唯一一条与不等式相关的性质，而不等式考点常常是考试的难点，因此单调区间这一性质成为了函数和不等式的连缀点，常常是一道大题中后续解题的依据。涉及单调区间的题目可能以多种形式出现，例如求最值，求区间最值，求零点，求解不等式等等。

在没有学习求导之前，我们能够讨论单调区间的函数仅限于已经学过的各种基本函数及其复合，本文也只讨论不使用求导只使用复合函数的概念来进行讨论求解的单调区间类型题目。

使用复合函数性质讨论单调区间，最重要的法则是同增异减法则，即：

对f(g(x))

1) 若内层函数g(x)在某区间上的单调性与f(x)在g(x)对应的值域上的单调性相同

则复合函数f(g(x))为增函数

2) 若内层函数g(x)在某区间上的单调性与f(x)在g(x)对应的值域上的单调性相反

则复合函数f(g(x))为减函数

1、 讨论f(x)在每个值域的单调性，根据同增异减的法则判断单调性

总结

复合函数类问题是函数类问题中比较困难的一类。其难点主要在于复合函数相关概念的理解上。解决复合函数问题并不需要精妙的数学思维和灵感，只需要对概念的准确把握和对法则的深刻理解。因此把握好定义域的概念和“同增异减”法则的应用方法，相信复合函数有关定义域、值域、单调区间的问题对各位同学将不再成为问题。