今年高考数学试题面貌新

特点一：着重考察数学基本概念

主持人翟东海：各位网友大家好!欢迎大家来到腾讯嘉宾聊天室，我是主持人东海。今天这会儿已经结束了今天2011年高考的前两门科目语文和数学。刚才我们请来了语文名师来为我们做了语文试卷和作文的点评，现在我们非常荣幸地请到了北京市数学特级教师李锦旭老师来到腾讯演播间，为大家来解读一下今年的高考数学试题，欢迎您李老师。

李锦旭：各位网友辛苦了!

主持人翟东海：李老师说各位网友辛苦了，其实真的是辛苦了。我们的网友准备了那么长时间来迎战高考，那么今天上午是赛程过半，考了两门非常重头的语文和数学，我们也注意到李老师特意地穿了一个红色的体恤衫，跟大家介绍一下为什么?

李锦旭：我刚才从考场上过来。穿红衣服，中国人的传统是红衣服喜庆、吉利、火热、必胜。

主持人翟东海：也给您的学生一种必胜的信念。您也介绍过了，刚才您是从刚刚从我们的考场回来。就您从考场上得到的第一手的消息，看到的第一手的情况，考生对我们今年数学的考试总体的反应是什么样的?

李锦旭：学生总体的反应还是很好的，看起来表情比较轻松。

主持人翟东海：反正我上学那会儿我最头疼的就是数学了，如果数学考试能让我轻松，我想底下的考试我就会更有信心。我们继续回到今年的高考数学的试题上我知道您也是刚刚拿到了高考数学全国卷的试题，您的学生考的是北京的卷子，而我们很多的网友是做全国卷的，您能不能结合您手头的全国卷，给我们分析一下今年高考数学有什么样的趋势?

李锦旭：好，拿到这份试卷是全国A卷，时间很短我浏览了一下，也大体上做的一部分。总体感觉是试题的面貌新，试题的基本排列结构是由易到难，但也不完全是这样。这样有利于稳定考生的情绪，有利于考生水平的发挥，有利于各个层面的考生的发展。因为现在试题的核心指导思想是由知识立意到能力立意，再到数学文化兼顾，具体体现在以考察、主干和核心知识为载体来考察数学的思维方法，考察数学的本质。如果具体的对试卷做一些细的分析，我想谈这样几个方面的问题。

一个是试卷着重考察了数学的基本概念，包括基本运算，包括基本的法则、基本的定理，还有课本上介绍的比较有用的结论。比如说，第一题考察了复数、代数形式的乘法、加法运算，第二个是反函数也很基本。第三个题是考察了充要条件，以非常简单的小不等式为载体来考察它。

主持人翟东海：都是比较基本的题。

李锦旭：对，非常基本。

主持人翟东海：我也觉得很基本，我的高考已经过去整整十年了，我对这些概念还有印象，所以我觉得大家本身不是学理科的，所以我觉得应该是很基本的题。

李锦旭：这些很基本的题我觉得不要很细致的解读，考生从前往后做，基本上做这个题以后很容易上手也很容易稳定考生的情绪，然后他可以很有信心地继续向下做。

主持人翟东海：这也是我们命题人的一个意图。

特点二：深度考察主干知识和核心知识

李锦旭：第二个特点我感觉是主干知识和核心知识的深度考察。这里面主要体现在第10、11、12、16等等这些题目上。

主持人翟东海：这些题目您说它考察的是我们主干知识跟核心知识的深度考察。

李锦旭：对。

主持人翟东海：我是不是可以这样理解，就是说所谓深度就不是很表面化的，考一个概念我知道这个概念是怎么回事就可以答出这道题而是需要经过思考和里面有弯或者是有一些知识的结合，我才能把这道题做出来?

李锦旭：对，多少有一些这方面的体现。举一个例子，比如说第10题，这个题目是一个解析几何的选择题，涉及到抛物线。你需要读完了题以后画出一个示意图来。这是一个开口向右的抛物线，然后还有一条直线是Y=2X-4，过20点，和抛物线交于a、b两点，画出一个图以后，连接Fa、Fb，构成一个三角形ABF，做这个题根据读完这个题画出这么一个示意图考虑解题的思路，角AFB的余旋值。求三对边ab，也是解析几何里面很主体就是直线和圆规曲线的位置关系，可以用两点间的距离来且出ab的长度。

主持人翟东海：这个点本身是一个主干知识或者说是基本的知识。

李锦旭：对，是基本的当然也是主干的。求af和bf这个主干，具体求ab点的坐标和焦点f的坐标另外一方面也可以利用抛物线的定义，可以通过连接直线和抛物线的方程，把两个坐标点求出来之后，使用原定理可以获得余旋值。

主持人翟东海：这个是您所说的有机点的几个融合。

李锦旭：难度不是很大，但结合得很好。

主持人翟东海：而且求那个长度可能有不同的方法，而不同的方法可能所耗费的时间和精力是不一样的，这也考察了学生对知识点是不是可以灵活应用，如果说可以灵活应用了解题的时间就可以灵活地缩短。

李锦旭：比如说第11题是一个立体几何的问题。体现了立体几何里转化的思想，就是求面，有一个截面，在过截面圆的圆心做一个截面，这两个截面成了60度的二面角，把空间结构想清楚，取一个球面的大圆做一个典型的截面，这个题由一个立体几何的问题转化成平面几何的问题。这是考察空间想象能力是比较典型的。可以用一个划归的思想，求大圆的半径，然后做的这么一个大圆，这里面可以借助于相交旋订立可以具体地把半径求出来，然后就得到了我们需要的截面圆的半径，然后那个圆a的面积也就出来了。这对空间想象能力，通过这种想象能力的转化，是一个非常典型的问题，这也是我们解读立体几何的动态问题常用的方法。

主持人翟东海：这是您说的第二个特点，对主干知识的深入的考察。

李锦旭：当然也包括一些灵活的考察了。比如说第12小题，也有机地体现出这个特点。这个试题设计的背景是以平面项量，数量级是-1/2。等于是这两个项量的夹角是120度，寻找一个主条件的几何意义。两个动态的项量的夹角不变是60度，我们首先为了简化这个问题，可以讲项量A、项量B取两个特殊的位置，只要使夹角是120度就够了。然后找动的项量C，让这两个项量的差项量夹角始终保持是60度，然后看项量C的变化范围这是一个动态题的考察，这就是非常考察学生的能力了。

特点三：突出学科特点，深入考察对于数学本质的认识

主持人翟东海：深入考察的还有没有其他的题型或者说我们除了这两个特点之外，今年的命题还有什么其他的特点?

李锦旭：深度考察的第16小题也是一个灵活考察题。

主持人翟东海：我没有记错第12小题是选择题的最后一题，16小题是填空题的最后一题，看来最后一个题是比较难的。

李锦旭：不过第16题也有一个比较快的做法。画出这个图来看一看它的背景是一个正方体，那个截面，一个点是侧棱的2/3、一个是1/3，平时我们也经常训练这种题。如果按一般的思路求解，要通过新一点的背景找出二面角的平面角，然后再解三角形求解。如果我们利用课本上介绍过的一个结论，就是这两个半平面所成的二面角上的余旋值应该等于底面的三角形的面积，直接用结论来做就快得多。如果平时做有心人这么积累了，做得就要快一些。

主持人翟东海：这个是我刚才强调过的，如果我们平常有足够的积累，我们对这个知识理解得很深入、很灵活，那么可能有些题，像我这样数学不是很好的就得做好一会，可能还做不对，程度好灵活掌握的就可以花很少的时间把分数拿到了。

李锦旭：从这方面也体现了对数学理解。如果说平时用心做积累，或者说你有意地进行一些方面的训练，可能拿过来同样的一个题目，平时想的多上手就快得多，上来就能寻求比较简洁、有效的解题思路和方法，这正好也体现了高考的选拔功能，区分度在这上面也有所体现了。这算是第二个小特点。

主持人翟东海：深入地考察主干知识。

李锦旭：对。第三个特点我感觉是突出了学科的特点，深入考察对于数学本质的认识。

主持人翟东海：对数学本质的认识?

李锦旭：对。比如说有些题目在知识的交汇处设计试题，灵活深入地考察数学的本质。

主持人翟东海：那么有没有一些很好的例子?

李锦旭：刚才我举的那个第12题，就很好地体现了这个问题。它是以项量为载体，通过运动变化的观点从某种程度上说是寻求项量问题动态的变化过程，这个过程这里面就有机地体现出你的数学能力、数学的本质上的一些差异。需要对数学的本质进行一些很好的理解。

其实这样的观念也体现在比较基本的题目里面，比如说这里面选择题的第6题。是在一个直二面角的背景里，求地点到平面ABC的距离，如果说直接找不是不能找，能找，相对来说要麻烦。而且那个垂足落在什么地方还要好好地考虑考虑。如果能够从数学的特点和本质上看问题，那这个题目我们可以考虑等体积转化，直接过地点向平面ABC做垂线，第一感觉不好做，我就可以考虑用三棱锥等体积转化，我就设距离为D一个变量，然后我交换一下顶点，同样这个三棱锥，我把B点看成顶点，底面是ACD，在平面角里高就非常地明确，之后用1/3底乘高很快就得到来解。还有第七小题是排列组合的问题，某同学有同样的画册，两本，同样的集邮册三本，要抽出不同的四本，送给四位朋友，有什么样的方式。你出这四本应该是什么样的，这就体现了数学里分类的思想，应该是两类，一类是两本画册，两本集邮册。第二是一本画册三本集邮册。同一类当中这几本是相同的，所以说你要解决这个问题怎么赠送给人啊?比如说，我拿的是两本画册、两本集邮册那我就可以从四个人当中选两个人给画册，因为给的两本是一样的，只要选对人对应的方法就唯一了。同样的，剩下的那两本，自然送给另外两个人，方法就唯一了。同样的方式一本画册和三本集邮册，我只考虑从四个人当中选出一个人，赠送那本画册剩下的那三个人自然拿集邮册就不用问了所以说总的方式是C42+C21就是两类。在所取得的元素有相同有不相同的情况下，怎么样把组合的模型建立起来。这里面还体现了分类的思想，非常典型。

另外第9小题，这里面牵扯到函数的周期性、奇偶性，在一个小区间上的解析表达式，从具体的函数值。这里面有机地体现了函数知识的综合运用，最终我们通过周期性和奇偶性，把要求的F那个-2/5转化到已给的小区间0-1上，我们可以套相应的值计算了。这就体现了转化。转化本身就是数学上面非常重要的一种思维方式，不仅仅是一种思维方式，它还是一种非常非常重要的数学思想。可以说，高考常考的几种数学思想，比如说第一函数与方程的。第二，数形结合的思想。第三，分类讨论思想。第四是等价转化与划归思想。基本上都是用转化去概括与归纳的。你像函数与方程的思想，往往需要用函数和方程转化的思想去解决问题，一些比较综合性和复杂性的问题可以这么考虑。这就体现了函数与方程的转化。本身就是把实际问题，通过概括、抽象转化为数学的问题，本身也就体现了转化。

主持人翟东海：包括您刚才所说的等体积转化。

李锦旭：对，那也是一种转化，非常灵活的其实也是很基本的一种转化。

分类讨论，当面对的数学问题比较复杂的时候，难以用统一的方式去向下处理或者是变形，那我们就可以根据实际情况分类去处理它。分类处理的策略本身也就体现了一种转化。另外等价转化与划归本身也是转化。还有数形结合，数和形之间的相互转化。恩格斯先生就对数学有一个概括，说转化是数学的杠杆。

主持人翟东海：有杠杆就可以撬动数学的难题。

李锦旭：对，可以调动很多的思维。

特点四：试题含创新元素，学生答题需跳出常规思维

主持人翟东海：还有没有其他的特点?

李锦旭：还有我感觉到今年的题目拿到的这份题里面，有创新的东西。但往往要跳出学生的常规思维。

主持人翟东海：学生是不是不太喜欢这样的题目?

李锦旭：他不是不太喜欢，因为这些题目他不是通过背题型和知识能够解决的，而是需要一种深度的思考。有些时候，你是通过这些准备是准备不来的，因为每年的试题里面基本上都有一两道创新的新题型，这种新题型就是你表面上看我们是有一些见过的，但如果细细地思考，上手本身就有一定的思维度。然后你要想深入那肯定是有一定的困难的。这就需要我们通过平时的复习，培养出的能力去应对这些东西。

主持人翟东海：这同时也是我们高考作为选拔所必备的特点。

李锦旭：高考毕竟是选拔性的考试，注定要体现出能力的分层，有能力的区分度。

主持人翟东海：不能说每道题都似曾相识，命题就不成功了。

李锦旭：这里面比较典型的是选择题的最后一个题，以项量为载体，那通过运动变化的观点去考察，它其实是一种动态的考察。平时你尽管对学生进行一些这方面的引导，但这毕竟是属于对数学本身的深度的考察，需要学生能灵机应变，而且从动态的观点来看，因为世界上的万世万物都是运动变化的，在运动变化里面考察问题的本质。那这种东西可以说是你平时很难去做准备能够获得的。需要你从这里面训练出一些能力并体现出来。

主持人翟东海：肯来全国卷的第12题应该是一个很好的题目。我感觉您讲的几个特点它都具备了。

李锦旭：还有最后第22题的第2道小题。这个概率结论是证一个不等式，这种题目平时可能学生训练的就少，对学生来说这是一个很好的挑战。这也是为能力比较强的学生做准备的，因为本身做到最后可能剩的时间也不多了，所以本身它体现出一个思维上的一些深度的东西。

主持人翟东海：像我当年高考的时候，最后一题基本上是属于战略性放弃的题目，老师也说过，题目虽然是最后一题但也可能是分几问，可能是由易到难的深入，你能答多少就答多少。

李锦旭：从应试的角度，从得分的角度来看，最后一个题也不一定要花多少时间去做它。但是说从能力培养的角度，最后一题是可以考察考生的能力的，而且特点也很强。

支招：

1、高考数学复习=老师引导+学生主动学习

主持人翟东海：刚才您结合今年您拿到的全国卷的命题的特点给我们讲了一些具体的题目，那么可能我们今天观看节目的除了刚刚考完考试的学生之外，还有我们即将进入高三的准高考生们。那么您作为一名负责优秀的数学老师，您今年也是班主任亲历了今年的高考，您觉得今后的这些高考生或者是我们马上要进入高考的学生，结合今年的命题的特点，他们应该做哪些准备呢?

李锦旭：做准备的问题我想首先进高三的复习，对每一个章节、知识点都要熟练掌握，除了你掌握知识还要以知识为载体进行思维训练，然后深入到问题的本质，才能对这个东西有一个深入的认识。真正的以不变应万变的东西就是以知识为载体，要训练你的思维、训练你的能力。

2、要用变化的眼光和发展的眼光看问题，把陌生的问题转化成熟悉的，复杂的问题转化成简单的

主持人翟东海：不能满足于这道题我会做，我做对了，而是说知道这道题考察的是什么?我能不能有更好的方法考察它?训练的是我哪方面的思维，这平时要靠老师的引导让学生自觉地培养出这样的习惯。

李锦旭：对，老师引导是必要的，同时我觉得学生的学习更是需要主动的。因为到任何时候，外因是变化的条件，内因才是变化的根据。通过我们老师这方面的引导，让学生应该有这么一个观念，当然你掌握知识是重要的，我觉得更重要的是掌握学习知识的方法，要有一种终生学习的理念。因为到任何时候这个题目是非常多，甚至可以说是无限的。我们要想通过有限的知识获得我们所需要的能力，那必须深入到问题的本质，深入理解它。学会用数学的思维去分析解决问题，掌握知识和学习的方法。

主持人翟东海：其实您刚才提到的有关转换的几个思维方式，您刚才提到的是数学的转化思想，其实我觉得对数学是非常重要的。

李锦旭：其实从某种程度来讲，不仅是数学，对我们做任何的工作、分析问题和思考问题都是非常重要，因为你往往面对的问题是比较复杂的，而且无时无刻不在变化的，就需要我们用变化的眼光和发展的眼光看问题。

主持人翟东海：就是把陌生的东西通过转化的思想转化为熟悉的。

李锦旭：陌生的转化成熟悉的，复杂的转化成简单的。

点评：数学试题难度变化不大，利于考生发挥水平;同时有所创新，体现时代精神

主持人翟东海：我想这也是李老师给我们这些即将进入高三的准高考生们一个非常好的学数学的建议。就您刚才通过学生出考场这样一种表现，再结合您手里拿到的这份卷子，您觉得今年题目的难度跟往年相比有一个什么样的变化?或者说是您觉得变化不大?

李锦旭：纵观近三年来，比如说08年一直到今年我觉得难度的变化并不是很大，这种平稳有利于考生的水平的发挥，也有利于在平稳的基础上有所变化、有所创新。

主持人翟东海：那就是说今年您觉得难度不大，考生的水平每年都差不多，其实这种命题是相对稳定的，以后分数也可能是相对稳定的趋势是吗?

李锦旭：现在很多省市已经进入新课改，新课改的理念也不断地在渗透。但是无论是新课改还是老课改的试题，它都是以知识为载体考察能力，这是毫无疑问的，要体现出探究性、实践性，体现出时代的精神。

主持人翟东海：正如李老师介绍的，虽然我们的数学命题有很多的变化，我们刚才说有很多的题目也有创新，但是万变不离其宗，我们这种数学的思想和本质是放在那儿，是不变的。那么我们用好的方法来深刻的理解数学，我想可能对很多的学生来讲数学将不是难事。包括我刚才听了您对题目的讲解之后我就觉得我本身是一个数学不太好的学生，我都觉得确实用这样的思路去考察一个题目可能就会把它变得简单起来。

那么今天也是我们考试高考的第一天，明天考生还会继续第二天的考试，您作为班主任和任课老师有什么要说的?

李锦旭：今天我们过来了，从一定程度上讲可能感觉到很轻松，也可能在某一个小地方感觉到不是很顺利，也不是感觉到特别容易。但是这都是正常的，关键我们还需要用正确的心态、高昂的情绪去面对明天的考试。在此，我要祝愿我的学生、祝愿全国各地的考生能考出一个好的成绩。

主持人翟东海：也特别祝愿现在还在收看我们节目的腾讯网友能有好的成绩。

李锦旭：有一个圆满的答卷。

主持人翟东海：也不忘李老师穿了红衣服表达自己的祝愿，由于时间的关系我们的访谈就结束了，非常感谢李锦旭老师做客我们的聊天室，跟我们分享您对数学高考的理解，借您刚才的话，祝愿我们所有的高考生都能取得自己理想的成绩，希望大家明天再接再励。我们今天的节目就到此结束。再见!