主持人：各位网友大家好!2009年全国高考的数学学科今天下午已经落下帷幕，不知道同学们是不是考得很顺利呢?在这里要预祝大家考个好成绩。在今天晚上这个时间我们将和大家共同关注2009年高考数学真题的点评，为大家邀请到得是北京睿升学校教学顾问、海淀教师进修学校数学教研员、北京市数学特级教师张鹤老师和我们大家进行交流，张老师，先跟各位网友打声招呼吧。

张鹤：同学们好!大家辛苦了!

主持人：今天是高考数学学科考试的日子，您也拿到了今天的题目，您有什么样的感觉，难度是怎样的?变难了，还是变简单了?题型有没有什么变化?给我们分析一下概况好吗?

张鹤：拿到时间不是很长，也做了一下，总体感觉07、08年和09年难度相差不多。从整张试卷来看，结构是由易到难，梯度把握也比较好，比较有利于各类考生的发展。

总体感觉，今年的题都是考察的是高中数学里基本概念，数学基本本质的东西，这都是我们高三复习中的重点内容，没有偏题、怪题，课本以外的题目几乎没有。这是给我最初的印象。这个题整体感觉上手比较快，题比较亲切，应该说有利于学生在考场的发挥。这是我初步的一点感受。

主持人：接下来的一点时间，请您按您的思路给大家对这份试卷进行分析和点评。

张鹤：从整张试卷来看，因为高考毕竟是一个选拔性的考试，从高考命题的立意上来说，还是以能力作为主要的考察重点，还要兼顾各类学生的发展。从试卷来看，很多题目，以理科为例，选择题的第一题、第二题、第三题一直下去到第五题，应该说同学们做完以后感觉都是很基本，很亲切的。因为这些题我们平时也在练。填空题里第一小题，就是十三题，把原来求一个系数的问题变成求两项技术。从题的形式上来看，稍有一些改变，但这些又都是我们经常训练的东西，同学们不会感觉入不了手。我的想法，考察内容相当一部分题目都是很基本的，比如第一题求几何的运算，在06―08年这几年高考中基本上都是这样一类的题目，学生一上手也都非常容易，几乎不会出错，能顺顺当当拿下。第二题考复数的内容，这几年高考对复数要求不是很高，第二题考察复数，也是对学生、同学稳定情绪，逐渐地进入考试状态起到了很好的作用。像第三小题含绝对值不等式，第四小题是考双曲线和抛物线相切，难度不大，也很基本。第五题是排列组合问题，考察同学们的分类讨论的情况。这样一些题目，同学们至少不会有太大的障碍。所以，对基本的内容考察，从命题者来说也还是认真对待，出了这样一些方面的题。

从大题来看，解答题的第十七小题，题型跟我们平时练的题型略有区别，应该说更朴实一些，直接就求一个边，不是对直等等一些问题，同学们只需要把三角关系转化为边的关系，当然这需要用正弦定理和余弦定理，结合已知的三角关系就可以求出边与边的长度。考察的都是最基本的内容，应该说占有一定比例了。这也提示了同学们，今后高三和老师复习数学学时还应是这样的，我们要重视基本概念，基本题目的训练和复习。

第二，我有一个比较强烈的感觉，中学里的主干知识、核心知识的考察应该说是很有深度的，或者达到必要的深度，而且对主干知识的考察构成了数学试题的主体。数学是思维学科，同学们在复习数学的时候，一个根本点就是，你应该学会用数学的思维方法思考数学问题，解决数学问题。有些同学之所以数学上进步不大，或者感觉数学难学，关键是对数学概念的理解和认识缺乏深度，对数学语言和生活语言、描述性语言、图形语言等等数学语言得转化很多同学不熟练。更重要一点，或者更关键得一点，很多同学对数学概念本质的把握没有达到必要的深度。

从这次考试命题来看，也可以看到，选择题当中已经开始接触或者考察这样一些概念，比如选择第十一题，同学们首先要涉及什么叫奇偶函数，这个概念同学们脑子要清楚，甚至有的高三同学最后阶段也说不清楚，对符号的表达式有些同学并没有深刻的认识和理解，如果换成F2X减1是偶函数，加1是奇函数，很多同学就回答不对了，原因是同学们对知识的理解比较机械。这个函数表达式是取两个函数自变量的时候，函数值互为相等，这是偶函数。我们要紧紧把握住，当FX加1我们要考虑是自变量，作为奇函数取相反数的时候，才互为相反数。只有把这句话正确描述出来，才能得出正确的结果。当然，我们也知道所谓奇函数就是两个点对称，从一般结论上来说，我们也容易推出它具有周期性，从这个小结中，我们可以看到，这绝对不是计算题，不是计算错误，马虎造成错误，不是这样的。它需要你对函数概念和知识有深刻的理解，如果认识到这一点，解第十一题也就不难了。

这张试卷里考察数学的主干知识，数学函数、三角函数、立体几何，解析几何等等是我们高中数学的主干知识。这张卷子中可以看到有大量的题目涉及到这方面内容，比如选择题的第三小题不等式的内容，第四题是双曲线、抛物线的问题，第七题立体几何，第八题三角函数，第九题可以算做导数，第九―第十二题是选择题。包括第二大题都是考察函数知识。高三复习的时候，我们花了大量的时间来复习主干知识，划出三个大的部分。

第三，从这份考题来看，突出了学科的特点，深入考出对数学本质的认识。下面我们谈到的是数学，比如奇函数的问题，第八小题，你要了解一个函数图象点和中心的对称什么意思把握住，这是你解决问题的基本出发点。这次考察的立体几何，我的感觉相对来说有些难度，但它也体现这样几个特点：

1、用向量解的同学可能会感觉稍稍舒服一点。简答题里的第十八题这道题来看，还有刚才我提到的第七小题，这两道题我的感觉，因为我没有继续做得太多，感觉用向量法的同学会稍稍简单一些。这也还是体现了新课程对立体几何教学的一个渗透。这两道题还是大纲卷，但在课标卷或者新课标卷中，对解决向量解决立体几何是理科同学必须要学的内容，所以我们要特别关注新课标对我们高三同学对大纲教学的理解和渗透。

2、从卷子来看，对同学答题内容和审题的要求应该说也是比较高的，比如第十小题，我估计很多同学在做这道题的时候，如果审地不清楚或者没有看清楚的话，可能会误认为是求P、Q两点之间的距离，如果这样做，显然这道题就会做不出来。我们一是要把题目审清。第十小题、第七小题都没有给图，我们需要根据已知条件，先画出草图，然后根据这个数据不断修正这个草图，使我们图形最接近题目的要求，或者我们看到最舒服的角度。我们同学考察立体几何的时候有这样的情况，由于图做不好，甚至有的同学不会做图，影响了自己的答题，立体几何有这样的特征，我们要特别关注这一点。现在的高三同学或者今后的同学在立体几何复习中更应该注意了。对同学审题的要求更高一些，把题目看清。第八题也是，三角函数这道题，它是求绝对值的，这是同学们审题时要注意的。这段时间我有一个感受，它突出了学科特点。不仅仅是突出了数学学科的特点，因为数学本身里有很多学科，几何的特点，代数的特点，几何里刚才我们谈到了立体几何。解析几何的学科特点应该讲是非常鲜明的，我们要用代数方法去研究数学问题。怎么用代数方法去研究数学问题呢?需要同学们通过读题、审题时紧紧抓住几何对象，只有把几何特征抓住、抓准，才有可能进行准确的代数化，用向量代数形式解决几何问题。这是这个学科对我们考生的一个基本要求，同学们在复习的时候也应该以此作为复习的目标。只有这样，我们才有可能完成立体几何的一些解题的目的。比如说选择题第四小题，求双曲线的离心率，那么离心率是多少，答案来看是四个当中的一个，双曲线的形状已经确定，哪个条件来决定这个双曲线的形状是确定的?这是第一句话，也就是说，是双曲线的渐近线，这是外围线，这条直线。用代数方法解决抛物线和直线的相接问题，最后得出关于X的第二次方程，这样可以利用代数的方法，方程得出为零，得出双曲线和直线的关系，确定离心率值的问题。

再比如说第十二题，选择题的最后一题，这道题难度其实并不是很大，只要同学们注意到了平面解析几何的特征，什么叫平面解析几何呢?怎么用代数方法解决问题呢?要把题目中给你的代数条件或几何条件搞清楚，把给的几何元素的代数形式写出来，这两方面做到了，做好了，作题并不是很困难。首先根据题目中所给的这样一些代数东西，把几何特征找到，比如交点坐标找出来，右边方程代数化。它又接着说有一个A点在右准线上，线段AF和椭圆交于点B，这时候好像同学们有一点疑惑，和B点，连接以后和椭圆交于点B，在什么位置上?在延长线上和椭圆相交，还是和椭圆直接相交。后面告诉我们了，向量FA等于三倍的向量FB。这涉及到几何和向量交汇的问题。通过这样的题目，B点就在F之间，焦点到准线距离是1，求AF的长度怎么来求?有右准线，有焦点，我们可以考虑定义，这样求B点到准线距离可以利用BF向量和AF向量的比例关系，因为到F点的准线距离知道，也就知道B点到准线的距离，点B到右交点的距离就出来了。尽管是选择题的最后一题，按照一般过去的经验来说，这道题有一定难度，但如果我们能够抓住解析几何的特征，充分利用解析几何的思维方法和思维特征，用几何的角度去分析它的代数形式，比如方程，它的坐标，用代数研究分析几何特征，用几何的东西考虑它要代数化。这门学科方法性特别强，我们在复习、答卷的时候要充分注意到这样一个问题，包括最后那个大题二十一题。

我们要想的是，半径的变化范围是由谁来决定的，显然从题目中告诉我们，可以看到，它是由要求抛物线和圆交于四点，也有可能不交于四点，比如交于两点甚至没有交点。交于四点的几何特征是什么?是解决这个题的关键。第二问也是这样，由于相交R有一个范围面积，A、B、C、D的面积在变化，求最大时候交点P点的坐标。从代数角度怎么考虑这个问题?这个时候我们可以考虑，面积在发生变化，一定是由某些量或者某一个量的变化引起它的变化，换句话说，面积是某一个量的函数，这样你就会把一个几何最大最小的问题慢慢过渡到函数问题上来。既然要求P点的坐标，P点在X轴上，根据图形的对称性，P点的横坐标是不是就是四边形A、B、C、D面积的自变量，由于P点坐标的变化导致面积的变化?

如果我们考虑到这一点，其实第二问的思路也就大致出来了。从这段时期来看，考察我们对学科特点的认识和把握应该说是很突出的。像刚才我们说的立体几何里，我们常说的是空间想象能力，空间的问题能不能转化平面的问题，会不会用向量来解决立体几何问题。平面解析几何就是要考察我们会不会用代数方法来解决问题。怎样用代数方法解决几何问题呢?从刚才分析看到，有两个环节，第一个环节，通过读题以后，你能不能认识到问题中所描述的几何对象的几何特征是什么，要把它的几何特征充分挖掘出来，我们才有可能准确进行代数化。有了代数形式之后，我们再利用代数的方法来解决它，解决完之后我们再还原成几何结论，可以说这点学科特点非常鲜明。

另外我感觉，有些试题比较新颖一些，每年的高考题中都有一道两道比较出彩的题目，题目不见得难，但跳出了同学、学生常规的思维，因为考生在高三复习一年碰到大量的题目，但数学不是考你的记忆，你背的题型，而是考你的思维能力。怎样考察你的思维能力?就是通过新颖的问题，让你在看似陌生，但要给你创造一个范围，不是常规的题型，这次高考也注意到这些问题。第六小题考察向量。我们看一下题目，说A、B、C是单位向量，单位向量A、B但成为零，说明两个是垂直，求A-C这个向量和B-C这个向量的值。看这个问题问的形式也还比较新颖，同学们在答的时候要充分注意到，因为向量有代数的属性和几何的属性，在解决这样一个问题的时候，要首先从几何角度去分析，A、B向量由于数量成积为零，两个向量是垂直的，向量C是可以平移的，我平移过来之后，向量A、向量B和向量C是两个互余的角，这样也就为一个是用坐标，一个是用定义来求最小值，这是非常关键的，向量A、向量B是一个余角，这是非常关键的条件。这道题应该说有一定新颖，突破高三复习中一些常规、常见的题型，对发展同学的思维能力是非常有意义的。

从整个填空题来看，四道填空题，刚才谈到了二、三、四的题，第四题考了一个等差数列，第二十题考察了一个数列，整套试卷对主干知识考察非常重要，它首先是函数，是一个非零自然数离散的自变量函数，非常特殊。对于数列的考察，或者同学复习数列的时候，我认为首先一点要掌握它最基本的解题，分析题的方法和思路。比如第十四小题，他说等差数列，同学非常熟悉，前X9和等于72，可以把第五项算出来，求的是第二项加第四项加第九项等于多少。数列是个二元问题，求出等差才能求出通项，这很明显有一个条件，所以不可能把首项和公差分别求出。同学在做这道题的时候要有整体代入的想法，整体代入的想法在数学思想方法中是很重要的方法。这道题不能把首项和公差分别求出，要采取不同的方法，由于A5算出来是8，A1+4D就是8，就是一个圆，不能再奢望求A1和公差，A1+A2+A9能得出多少公差和数列，这对考题考察是最基本的。简单题里的数列问题看起来好象有点难度，但实际上同学们要分析的话，其实这道题并没有超出我们平时复习，或者我们常常做的数列题的难度。

我们来看这道题，如果我们不做，看一下这两个问题可以发现，如果第一问求出，就是BN，就是AN分之AN，你知道一个数列的通项公式当然也就可以求出同类项。这个问题解决难度大一点，第一个问题解决了第二问比较顺利。问题其实综合给的条件是等式是这道题最关键的地方，你注意分析求什么数列，AN分之AN是数列的第一项，要把等式的右边括号进行整理，整理出N分之AN乘以N+1，加上2的7次方的N+1，这么一通分之后，左边两项都有一个N+1，就可以等于两边通除N+1。对于这样的关系式，同学们做题就容易一些了，这非常像等比数列的关系。但有一个问题，这是2的N次方分之一，怎么办呢?我们只要在等式两边同乘2的N次方或者2的N次方加1，设一个乘数的大小，就会得出一个等比数量。即使简答题的二十题已经很靠后的题目，但考察的内容都是非常基本的，只要这一天中复习到位，复习比较扎实的话，这样的数列问题我们是能够拿下来的。

我刚才谈到了，从这些卷子来看，包括第十九题概率题也是这样，很常规，两个人围棋比赛，做了一个规定，三局就是获胜，给甲获胜的概率，乙获胜的概率，比较独立。前两局中甲乙胜了一局，现在问你甲获胜的概率比例是多少?你需要把情况分清楚，甲几种情况就可以获胜，因为它已经胜了一局，特别注意乙已经胜了一局，把题目条件想明白就行了，比如甲输一场，不可能最后就输，再赢两场，或者先输一局再赢两局，都有可能的。甲再输两局呢?就不可能了，因为已经胜了一局。这样我们就把时机问题转化为数学的想法来思考，这样题目也就比较顺利地能够解决。

从整个试卷的分析来看，我感觉题目的难度应该说和前两年比没有什么太大变化，从整张试卷来看，由易到难，即使到了难题部分，应该说考察的也是我们高中数学最重要，最核心的内容，最基本的内容，考察的是数学本质的东西。这样的话，应该说对于我们今后的高三复习也有非常好的指导作用。也就是说，如何把数学通过一年的复习，复习到位。通过这道试题我有一个初步的想法，对于我们同学来说，只有把数学的思维方法掌握住了，不是靠做大量的题，很多同学记答案和过程，这都是数学的解题方法，要抓住数学的思维特征。比如复习函数，函数的思维特征是什么?刚才我们提到了函数的几个问题，几何、立体几何、平面、解析几何思维特征是什么，向量是工具，思维特征在哪里?三角函数数列首先是函数，也具备了函数的思维特征，但也有一些特殊性。三角函数和数列跟我们常说的函数有一定的区别，它的思维方式又在哪里?抓住这样的思维特点，应该说我们才有可能真正地把数学的复习到位，能够复习到点子上。

通过这次全国卷理科卷、文科全卷的分析，我有一个感觉，文科卷的难度并不低，和理科差距不是特别大，这是文科同学在复习时应该特别注意的问题。

小结一下我以上的分析，09年高考数学试卷还是遵循了科学性、公平性、规范性的原则，体现了这个时代的精神。融入了探究实践、变革的一些理念，特别是新课程的理念应该说有所渗透。但是我想更重要一点，它还是保留了全国试卷的传统风格，应该说区分合理，体现了高考的选拔功能，对中学教学有非常良好的导向作用。

主持人：谢谢张老师今天晚上给我们进行这么精彩的点评，也感谢各位网友的关注!再见!

张鹤：谢谢!再见!