2016-10-25
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求空间图形中的角
求空间图形中的角
求空间图形中的角
求空间图形中的角
空间图形中的角,包括异面直线所成角、直线与平面所成角和二面角。这些角的计算,是高考中的一项主要的考核内容。做这类题目,应根据定义找出或作出所求的角。并根据题目的要求,计算一些线段的长度,然后通过解三角形等方法求值。在解题时要注意“作、证、算”的有机统一,还要注意各种角的范围,运用恰当的方法求出它们的大小。当然也可借助空间向量求这些角的大小。
例:在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中,E、F分别是BC、A′D′的中点,
(1)求直线A′C与DE所成的角;
(2)求直线AD与平面B′EDF所成的角;
(3)求平面B′EDF与平面ABCD所成的锐二面角
解法一:
(1)解 如图所示,在平面ABCD内,过C作CP∥DE,交直线AD于P,则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角
在△A′CP中,易得A′C=-a,CP=DE=-a, A′P=-a
由余弦定理得cos(∠A′CP)=- 故A′C与DE所成角为arccos-
点评:异面直线所成角的范围是0°θ≤90°,求解的方法主要是平移法和补形法。
(2)解 ∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上(如图)又可证明四边形B′EDF为菱形(证明略),∴DB′为∠EDF的平分线,
故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′,
在Rt△B′AD中,AD=-a,AB′=-a,B′D=-a,
则cosADB′=-,故AD与平面B′EDF所成的角是arccos-
点评:直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°,求解的关键是找直线在平面上的射影。
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