天津市第四十二中学 张鼎言

6. 如图，已知点F(1，0)，直线l：x=-1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且-·■=-·■

(1)求动点P的轨迹C的方程;

(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知-=λ1-，-=λ2-，求λ1+λ2的值。

解(1)P(x，y)，Q(-1，y)，F(1，0)

-=(x+1，0)，-=(2，-y)

-=(x-1，y)，-=(-2，y)

由已知，得y2=4x

抛物线焦点F(1，0)，准线l：x=-1

解(2)lABy=k(x-1)，k存在

-

△=16+16k20

y1+y2=-，y1y2=-4

A(x1，y1)、B(x2，y2)、M(-1，-2k)

-=λ1-→y1+2k=-λ1y1，λ1=--

-=(x2+1，y2+2k)

-=(1-x2，1-y2)

→y2+2k=-λ2y2

λ2=--

λ1+λ2=----

=-2-2k(-+-)

=-2-2k·■=0

注：本题的直线过抛物线焦点，但没有抛物线定义.把前5个题与本题比较，直线过焦点且出现距离问题时，前5个题引出的方法适用.

(五)直线与圆锥曲线相交不过焦点

复习导引：

因直线不过焦点又与圆锥曲线相交，设直线方程一般不用两点式，否则会导致推导的复杂性。点在直线或曲线上，点的坐标满足方程看来熟知却容易忽略。

1. 设椭圆-+-=1(a0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为-|OF1|。

(Ⅰ)证明a=-b;

(Ⅱ)设Q1，Q2为椭圆上的两个动点，OQ1⊥OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程。

(Ⅰ)-+-=1(a0)

A(c，y)

-+-=1，|y|=-

-=-

→-=-

-=-→2a2-b2=3b2，a2=2b2，∴a=-b

(Ⅱ)由(Ⅰ)

-

-

→(2k2+1)x2+4kmx+2(m2-b2)=0

△=16k2m2-8(2k2+1)(m2-b2)0

2k2b2+b2m2

x1+x2=--，

x1x2=-

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)

=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2

=---+m2

=-

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