沈阳二中 刘锐

在备考的后期，适度的处理一些对你构成挑战性的问题是有益的。本文在G波利亚围绕问题解决过程设计的一段师生对话的基础上，添加了更具高中特征的一些内容，同时删除了一些关于更深入的解题过程的议论，试图阐释高中阶段具有挑战性的数学问题解决的工作环节及其思维的发展脉络。

一、熟悉问题

(“S”代表学生，“T”代表老师，下同)

S: 我应该从哪儿开始?

T: 从问题的叙述开始。

S: 我能做什么?

T: 观察揣摩整个问题，尽量使其清晰而鲜明。可以暂时抛开细节。

S:这样做，我能得到什么好处?

T: 你会明白问题，使自己熟悉问题，并把问题的目标牢记在脑海中。这样全神贯注地对待问题也会调动你的记忆力，做好准备去重新联想与问题有关的各点。

二、深入理解问题

S: 我应该从哪儿开始?

T: 还是从问题的叙述开始。当你对问题的叙述已清楚地印入脑海，以致你即使暂时不去看它，你也不怕把它忘掉时，你就可以开始下面的工作了。

S: 我能做什么?

T: 先把问题的主要部分剖析出来。未知数是什么?已知数据(包括已知数、已知图形和已知事项等)是什么?条件是什么?画张图。并引入适当的符号。

S: 这样做，我能得到什么好处?

T: 你会准备好并弄清楚以后可能起作用的细节。

三、探索有益的念头

S: 我应该从哪儿开始?

T: 从考虑问题的主要部分开始。如求解问题的未知、已知与条件;求证问题的前提与结论。

S: 怎样进行?

T: 首先从各个方面考虑你的问题。分别突出各个部分，考察各个细节，用不同的方式审查同一细节。试着在每一个细节发现某些新意义。把细节用不同的方式组合起来，从不同的角度考虑它，尝试在整个问题中得到某些新解释。其次试图找出与你现有知识和解题方面的经验等有关的内容。试想过去在类似的情况下有什么曾帮过你的忙。并按照如下的次序提出以下问题：

①你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?

②看着未知数!试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉问题。

③这里有一个与你现在的问题有关且早已解决的问题。你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了利用它，你是否应该引入某些辅助元素?

④你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方式重新叙述它?利用普遍化、特殊化、类比、舍去一部分限制等手段了吗?

⑤回到定义去!

⑥你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了所有条件?

等等……

S: 你能告诉我这六个提问的设计意图吗?

T: 问题①和②的设计旨在找寻在过去解题过程中与现有问题相同或相似的问题，不过两者还是有区别的，前者是从整个问题的角度寻求相同或相似的问题，后者是从问题的主要部分上来找寻相同或相似的问题。

问题③是在找到与现在的问题有关且早已解决的问题时，我们又应如何利用?值得注意的是，这里可以利用的应含括三个方面：原问题的结果、方法以及结果和方法同时使用。

通常问题①②③能激起一连串正确的想法，但它们也不是万灵的。一旦上述三个问题的提问没有实质性的突破，这时我们不得不变化、变换我们的问题，问题④就是在这样的背景下提出来的。

当我们陷入更为被动的状态时，我们通过提出问题⑤，以其获得原问题更为准确或新的角度的认识。

问题⑥的提出位置应该放置在熟悉和理解问题的环节上，这里提出来是防止我们陷入对问题的某个部分或细节的过度关注，以致顾此失彼。

四、实现计划

S: 我应该从哪儿开始?

T: 从刚刚构建的思路开始。当你感到你已清楚要做的主要工作，并且自信能提供可能需要的运算与论证，就可以开始工作了。

S: 怎样进行?

T: 详细地进行你以前认为可行的代数运算和几何运算。如果你的问题很复杂，可以分成“大”步骤和“小”步骤，每一大步骤又由几个小步骤组成。首先检查大步骤，以后再检验小步骤。

五、回顾

S: 我应该从哪儿开始?

T: 从解答开始，它的每一个细节都应该是完整而正确的。

S: 怎样进行?

T: 从各个方面考虑这个解，找出与你已有知识之间的联系。

考虑解的细节，研究每一个细节的正确性;并尝试使它们尽可能的简单;研究解答中较冗长的部分，使它们更短些;试着一眼就看出整个解。

试着去改进解的各部分，使它直观。

总结你解题的方法，尝试看出它的要点，并且尝试把它用于其他问题。

总结所得结果并试着用于其他的问题。

S: 这样做，我能有什么好处?

T: 你可能找出一个新的更好的解，你可能发现新的有趣的事实。无论如何，如果用这个方式养成研究与总结你的解的习惯，你将获得某些井然有序的、便于应用的知识，并且将会极大地提升你的解题能力。