2016-10-25
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天津市第四十二中学 张鼎言
由A、B在C2上:
-
(1)-(2):k(y1+y2-2m)=2p (B)
分析两式要求m、p,需要两个等量关系,而k,x1+x2,y1+y2都需要用m,p去表示。
c2的焦点F(-,m)在LAB上,有k=-=-,
真正的难点是x1+x2=?
本题一个显着的几何条件是:
LAB既过c1的焦点F2又过c2的焦点F,且焦点弦为|AB|,这是全题的突破点.由椭圆第二定义,抛物线定义,有如下的等量关系:
|AB|=|AF2|+|BF2|=e(--x1)+e(--x2)=4--(x1+x2)
|AB|=|AF|+|BF|=x1-(--)+x2-(--)=x1+x2+p
∴x1+x2=-(4-p)
由(B)y1+y2=-+2m,由LAB y=k(x-1)
y1+y2=k(x1+x2-2),
y1+y2=-
以上两式消去y1+y2,
m2=-
再由(A)式:3(p-2)2(4-p)+16m2(1-p)=0
把m2代入上式,注意到p≠2,
3p2+20p-32=0
p=-,p=-8(舍去)
m2=-,m=±■
5. 如图,F为双曲线C:---=1(a0,b0)的右焦点。P为双曲线C右支上一点,且位于x轴上方,M为左准线上一点,O为坐标原点。已知四边形OFPM为平行四边形,|PF|=λ|OF|。
(Ⅰ)写出双曲线C的离心率e与λ的关系式;
(Ⅱ)当λ=1时,经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点,若|AB|=12,求此时的双曲线方程。
解:(Ⅰ)由已知|OF|=|PM|=c,
点P到右准线的距离为:
|PM|-2■=c-2■,
由双曲线的第二定义,|PF|=e(c-2■)
再由已知
|PF|=λ|OF|=λc=e(c-2■)
→e2-λe-2=0
(Ⅱ)λ=1→e2-λe-2=0,e=2,c=2a,c2=4a2
双曲线方程简化为---=1
下边是如何求出a
由λ=1,|PF|=|OF|,平行四边形OFPM是菱形,
|OP|与|MF|垂直平分,令交点为Q(xQ,yQ),
LOP y=kx
LMF y=--(x-2a)
两直线交点 xQ=-,
yQ=-
由此p(xp,yp)坐标可求出,xp=-,yp=-,
点p在双曲线上,把p点坐标代入双曲线方程:
3k4+22k2-45=0,k2=-,k=-
过点F,且平行于OP的直线方程为:y=-(x-2a)
该直线与双曲线C交于A、B两点用常规做法联立,由根与系数关系可求出x1+x2=-5a,这样可求出x1x2,再用两点间距离公式|AB|=12,问题能解决.如果用焦点弦可把用双曲线的知识进一步加深。
|AB|=|FB|-|FA|=e[(--x2)-(x1--)]=2(a+5a)=12,a=1
?第5题,当出现直线与圆锥曲线相交时,先分析一下直线是否过圆锥曲线焦点.对于双曲线特别引起注意,充分运用图形给我们很好的启发,同学们可以从理论上进一步思考!
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