天津市第四十二中学 李艳杰

二、运用两非零向量共线的充要条件求轨迹方程。

例1：已知定点A(2,0)，点P在曲线x2+y2=1(x≠1)上运动，∠AOP的平分线交PA于Q，其中O为原点，求点Q的轨迹方程。

解: 设Q(x,y),P(x1,y1)

-=(x-2,y)

-=( x1-x,y1-y)

又∵-=-=-

∴ -=2-

即：(x-2,y)=2(x1-x,y1-y)

-

解得：-

代入x12+y12=1(x≠1)有：

-(3x-2)2+-y2=1(x≠-)

即所求轨迹方程为：

(x--)2+y2=-(x≠-)

【点拨】用该方法解此类问题简单明了，若将Q视为线段AP的定比分点，运用定比分点公式解本题，则计算过程既繁琐又容易出错。

例2：设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若-=2-,且-■=1,求P点的轨迹方程。

解：-=2-

∴P分有向线段-所成的比为2

由P(x,y)可得B(0,3y),A(-x,0)

∴- =(--x,3y)

∵Q与P关于y轴对称, ∴Q(-x,y),-且 =(-x,y)

∴由-■=1可得-x2+3y2=1(x0,y0)

即所求点P的轨迹方程为-x2+3y2=1(x0,y0)

【点拨】求动点轨迹方程时应注意它的完备性与纯粹性。化简过程破坏了方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者挖去多余的点。

三、运用两非零向量垂直的充要条件是求轨迹方程。

例1：如图，过定点A(a,b)任意作相互垂直的直线l1与l2，且l1与x轴相交于M点，l2与y轴相交于N点，求线段MN中点P的轨迹方程。

解：设P(x,y)，则M(2x,0)，N(0,2y)

-=(2x-a ,-b)

-=(-a,2y-b)

由-⊥-知-■=0

∴(2x-a)(-a)+(-b)(2y-b)=0

即所求点P的轨迹方程为2ax+2by=a2+b2

【点拨】用勾股定理解本题，运算繁琐，若用斜率解本题，又必须分类讨论，用向量的方法避免了上述两种方法的缺陷，使解题优化。

例2：过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，过原点O作OM⊥AB，垂足M，求点M的轨迹方程。

解：设M(x,y), OM⊥AB，F(2,0)

∵-■=0且-=(x,y),-=(2-x,-y)

∴x(2-x)-y2=0，即：x2+y2-2x=0

∴点M的轨迹方程为x2+y2-2x=0

由以上几例可以看出：轨迹方程的很多题目都可以用向量来探求思路。用向量解决求轨迹问题，最理想的情形是题设中有“向量的数量积”“平行”“垂直”，或结论与“垂直”有关。重要的是在学习和应用的过程中培养向量意识，使向量成为我们处理问题的基本工具。