天津市第四十二中学 张鼎言

6. 已知函数f(x)=--sin2x+sinxcosx

(Ⅰ)求f(-)的值;

(Ⅱ)设α∈(0，π)，f(-)=---，sinα的值。

解：(Ⅰ)化简f(x)，f(x)=-cos2x+-sin2x--

=sin(2x+-)--

f(-)=sin---=0

解：(Ⅱ)f(-)=sin(α+-)--

=---，

∴sin(α+-)=-

-sinα+-cosα=-

sinα+-cosα=-

-cosα=--sinα

两边平方整理关于sinα的二次方程：

16sin2α-4sinα-11=0

∵α∈(0，π)

∴sinα=-

注：在三角函数的求值、化简及研究三角函数的性质中，公式αsinα+bcosα=-sin(α+φ)，tanφ=-ba，起着重要的作用。

(二)三角函数的图象与性质

复习导引：这一部分是高考的重点内容。三角函数的研究内容与方法既具有一般函数性质，又有其特殊的性质，周期性突显出来，如第3、9题，从图象角度审视，轴对称、中心对称、成为拟题的载体，如第4、5、6、11题。

1. 设函数f(x) =-cos2ωx+sinωxcosωx+α(其中ω0，α∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为-。

(Ⅰ)求ω的值;

(Ⅱ)如果f(x)在区间[--，-]上的最小值为-，求α的值。

解：(Ⅰ)f(x)=-cos2ωx+sinωxcosωx+α

=--+-sin2ωx+α

=-sin2ωx+-cos2ωx+α+-

=sin(2ωx+-)+α+-

2ω■+-=-，ω=-

(Ⅱ)f(x)=sin(x+-)+α+-

--≤x≤-

0≤x+-≤-

fmin(x)=f(-)=--+α+-=-

∴α=-+-

2. 如图，函数y=2sin(πx+φ)，(x∈R)，(其中0≤φ≤-)的图象与y轴交于点(0，1)。

(Ⅰ)求φ的值;

(Ⅱ)设p是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求-与-的夹角。

解：(Ⅰ)f(0)=2sinφ=1，sinφ=-

0≤φ≤- ∴φ=-

(Ⅱ)f(x)=2sin(πx+-)

∵P为最高点

∴πx+-=-，x=-，Q(-，0)

f(x)周期T=-=2，-=1，|MN|=1，|NQ|=-，|PQ|=2，tanα=-

cos2α=-=-

∴-与-的夹角是arccos-

3. 已知函数f(x)=Asin2(ωx+φ)，(A0，ω0，0-)，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴的距离为2，并过点(1，2)。

(1)求φ;

(2)计算f(1)+f(2)+…+f(2008)。

解：(Ⅰ)f(x)=Asin2(ωx+φ)=---cos(2ωx+2φ)

fmax(x)=--(--)=2 ∴A=2

由已知，T=4=-，ω=-

f(x)=1-cos(-x+2φ)

f(1)=1-cos(-+2φ)=2

∴sin2φ=1 0-

∴φ=-

∴f(x)=sin(-x)+1

(Ⅱ)f(1)=sin-+1=2

f(2)=sinπ+1=1

f(3)=sin-+1=0

f(4)=sin2π+1=1

又f(n)是以4为周期的函数

-=502

∴f(1)+f(2)+…+f(2008)=502×4=2008

4. 设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π0)，y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=-。

(Ⅰ)求φ;

(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调增区间;

(Ⅲ)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切。

解：(Ⅰ)∵x=-为f(x)对称轴，

∴sin(2×■+φ)=±1.

∴sin(-+φ)=±1，-π0

∴-+φ=--，φ=--

∴f(x)=sin(2x--)

解：(Ⅱ)f(x)的单调递增区间

2kπ--≤2x--≤2kπ+-，k∈Z

kπ+-≤x≤kπ+-，k∈Z

证明：(Ⅲ)5x-2y+c=0，斜率k=-

f(x)=sin(2x--)

k'=f'(x)=2cos(2x--)

|k'|≤2

∵k≠|k'| ∴不能相切

注：本题阐述了三角函数图象轴对称求解析式的方法。