2016-10-25
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高中数学经典试题:已知双曲线C的中点在原点,焦点在x轴上,点P(-2,0)与其渐进线的距离为(根号10)/5,过P作斜率为1/6的直线交双曲线于A,B两点,交y轴于点M,且PM是PA与PB的等比中项.
⑴求双曲线C的渐进线方程
⑵求双曲线C的方程
高中数学经典试题答案
第一问设渐近线方程为y=kx,利用点到直线的距离,求出k=1/3,可求得渐近线方程为y=1/3x,
第二问解答如下
设:A(x1,y1)B(x2,y2)
直线为y=(1/6)*(x+2),与y轴相交,即x=0时y=1/3
所以M(0,1/3)
|PM|是|PA|与|PB|的等比中项,即|PA|:|PM|=|PM|:|PB|
画个图可知他们是相似三角形
所以有:|y1|:(1/3)=(1/3):|y2|
由于A、B必在x轴的两侧,所以y1,y2其中的一个必是负的
因此上式整理为:1/9=-y1*y2
再把直线和双曲线联立解方程组,要消x留y
其中双曲线的a=3b
得到一个关于y的一元二次方程
过程我省略了,方程是:27y^2-24y+4-b^2=0
则y1*y2=(4-b^2)/27
因此b^2=5
则a^2=45
方程就求出来了
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