2016-10-25
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所谓新题型,就是一些创新题型,大部分是依照出题人给予的框架解题,其没有常规思路,完全靠学生自己分析题意,寻找解题方法,意义在于培养学生的创新能力,以及发现问题,寻找方法的能,创新题没有常规解法,但是,有常规解题思路。并且是只有一种思路。下面,就有我来介绍这一常规思路。
1. 猜想法
猜想法广泛应用于创新题的解题过程中,面对一道创新题,首先要做的就是观察,寻找特殊值,通过特殊值寻找规律,就如最后一道压轴大题一般,往往通过猜想,证明出第一问。
2. 寻找数学关系
这个是解创新题的最为关键的步骤,通过对特殊值的观察,寻找出这些特殊值的关系,可以画出图像的题一定要画出图像。
3. 大胆猜想,小心论证
这些数学关系往往超出我们常规的想象,我们尽量的大胆进行猜想,然后进行小心的论证,要有一种数学的“直觉”。
4. 归纳与总结
总结出这些特殊值的规律,通过规律以及题设条件,将这些规律抽象化,公式化。
5. 总结出一般性的规律,进而用于解题。
总而言之,言而总之,创新题的思路在于由特殊到一般,关键是在于找出这些特殊值的数学关系。
下面以去年一模试题为例。
对于这道题而言,大家恐怕第一反应都是数列的递推,但是,对于f(x)在0与1单调递增的条件显然就用不到了,所以,此题绝对不是用递推的方法。
作为一道创新提,我们按照以上步骤进行解答。
1.猜想,寻找特殊值
我们可以看到f(0)=0所以f(1)=1当然,这个是最显而易见的。当发现f(1)=1时,通过第二个式子不难看出f(1/5)=1/2。然后还有什么特殊值呢?我们还能发现一个比较隐蔽的东西,那就是f(1/2)=1/2。于是,基本所有的特殊值都找全了。
2.寻找特殊值的关系
很有意思,我们可以发现f(1/5)=1/2与f(1/2)=1/2,他俩是相等的,看到这里,我们是不是灵机一动呢?因为这个函数是一个非严格单调递增函数。那为什么f(1/5)=1/2与f(1/2)=1/2会相等呢?这就是特殊值之间的数学关系。
3.大胆猜想,小心论证。
既然f(1/5)与f(1/2)是相等的,并且函数是非严格单调递增的,所以,f(1/5)与f(1/2)之间的所有值一定等于1/2!
4.归纳与总结
既然f(1/5)与f(1/2)之间的所有值等于1/2,那么通过第二个式子不难看出f(1/25)与f(1/10)的关系,他俩都等于1/4,于是,我们是不是可以归纳总结出:这么递推下去,是不是肯定能有两个数把1/2010夹在其中呢?
5.总结一般规律,用于解出答案
所以,我们就这样递推下去,最终可以解出答案,1/32。
对于这种两问的填空题,第一步就是为第二部做铺垫的。并且往往,第一步是让我们寻找特殊值,然后通过寻找特殊值的关系,我们得出关系,解出第二问。
依然是以上的方法。
1。猜想,寻找特殊值
往往第一步是比较容易的,通过观察与猜想,我们不难发现第一问的答案即
2,3,1,4与2,3,4,1。
2。寻找特殊值的关系
我们可以发现,最后一位数字的对应貌似不是1就是它本身。
3。大胆猜想小心论证
是不是如此呢,如果最后一位数既不是1,又不是4,那么,它会是哪个数字呢?很显然,他只能是前面的几个数字,比如说2,那么此时,2就不符合优映射了,因为2对应的2值是在4上,所以,最后一位数不是1就是4。
4。归纳与总结
既然最后一位数不是1,就一定是4。那么对于第二问而言,f(1004)=1,那么f(2010)=?显然,其不能等于1了,那么,它必须等于2010,同理,f(2009)=?显然它也不等于1,那么,为了满足优映射,它也只能等于它本身了,就这样递推出来,f(1004)以后的所有值都必须等于它本身。那么怎么求出最大值呢?我们知道f(1004)=1,f(1007)=1007。所以f(1000)最大就只能等于1004了。
5总结一般规律,得到正确答案
所以,此题的答案就为1007+1004=2011
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