例1 小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示.他们每人打了两发子弹.小兵共打中6环，小军共打中5环.又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发.你知道他俩打中的都是哪几环吗?

解：已知小兵两发子弹打中6环，要求每次打中的环数，可将6分拆6=1+5=2+4;同理，要求小军每次打中的环数，可将5分拆5=1+4=2+3.

由题意：没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发，只可能是：

小兵打中的是1环和5环，小军打中的是2环和3环.

例2 某个外星人来到地球上，随身带有本星球上的硬币1分、2分、4分、8分各一枚，如果他想买7分钱的一件商品，他应如何付款?买9分、10分、13分、14分和15分的商品呢?他又将如何付款?

解：这道题目的实质是要求把7、9、10、13、14、15各数按1、2、4、8进行分拆.

7=1+2+4

9=1+8

10=2+8

13=1+4+8

14=2+4+8

15=1+2+4+8

外星人可按以上方式付款.

例3 有人以为8是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能要够用8表示才好.现有200块糖要分发给一些人，请你帮助想一个吉利的分糖方案.

解：可以这样想：因为200的个位数是0，又知只有5个8相加才能使和的个位数字为0，这就是说，可以把200分成5个数，每个数的个位数字都应是8.

这样由85=40及200-40=160，

可知再由两个8作十位数字可得802=160即可.

最后得到下式：88+88+8+8+8=200.

例4 试将100以内的完全平方数分拆成从1开始的一串奇数之和.

解：1=11=12=1(特例)

4=22=22=1+3

9=33=32=1+3+5

16=44=42=1+3+5+7

25=55=52=1+3+5+7+9

36=66=62=1+3+5+7+9+11

49=77=72=1+3+5+7+9+11+13

64=88=82

=1+3+5+7+9+11+13+15

81=99=92

=1+3+5+7+9+11+13+15+17

100=1010=102

=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19.

观察上述各式，可得出如下猜想：

一个完全平方数可以写成从1开始的若干连续奇数之和，这个平方数就等于奇数个数的自乘积(平方).

检验：把1111=121，和1212=144，两个完全平方数分拆，看其是否符合上述猜想.

121=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21

144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23

结论:上述猜想对121和144两个完全平方数是正确的.

例5 从1～9九个数中选取，将11写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法?

解：将1～9的九个自然数从小到大排成一列：

1，2，3，4，5，6，7，8，9.

分析 先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求.

但用次大的2和最大的9相加，和为11符合要求，得11=2+9.

逐个做下去，可得11=3+8，11=4+7，11=5+6.

可见共有4种不同的写法.

例6 将12分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请把它们一一列出.

解：可以做如下考虑：若将12分拆成三个不同的自然数之和，三个数中最小的数应为1，其次是2，那么第三个数就应是9得：12=1+2+9.

下面进行变化，如从9中取1加到2上，

又得12=1+3+8.

继续按类似方法变化，可得下列各式：

12=1+4+7=2+3+7，

12=1+5+6=2+4+6.

12=3+4+5.

共有7种不同的分拆方式.

例7 将21分拆成四个不同的自然数相加之和，但四个自然数只能从1～9中选取，问共有多少种不同的分拆方式，请你一一列出.

解：也可以先从最大的数9考虑选取，其次选8，算一算21-(9+8)=4，所以接着只能选3和1.这样就可以得出第一个分拆式：21=9+8+3+1，

以这个分拆式为基础按顺序进行调整，就可以得出所有的不同分拆方式：

21=7+6+5+3}以7开头的分拆方式有1种

共有11种不同的分拆方式.

例8 从1～12这十二个自然数中选取，把26分拆成四个不同的自然数之和.

26=8+7+6+5}以8开头的分拆方式共1种不同的分拆方式总数为：

10+10+8+4+1=33种.

总结：由例4明显看出，欲求出所有的不同的分拆方式，必须使分拆过程按一定的顺序进行.