等差数列的基本性质

⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d.

⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd.

⑶若{a}、{b}为等差数列，则{a±b}与{ka+b}(k、b为非零常数)也是等差数列.

⑷对任何m、n，在等差数列{a}中有：a=a+(n-m)d，特别地，当m=

1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性.

⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l+k+p+…=m+n+r+…

(两边的自然数个数相等)，那么当{a}为等差数列时，有：a+a+a+…=a+a+a+….

⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd(k为取出项数之差).

⑺如果{a}是等差数列，公差为d，那么，a，a，…，a、a也是等差数列，其公差为-d;在等差数列{a}中，a-a=a-a=

md.(其中m、k、)

⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项.

⑼当公差d0时，等差数列中的数随项数的增大而增大;当d0时，等差数列中的数随项数的减少而减小;d=0时，等差数列中的数等于一个常数.

⑽设a，a，a为等差数列中的三项，且a与a，a与a的项距差之比=(≠-1)，则a=.

等差数列前n项和公式S的基本性质

⑴数列{a}为等差数列的充要条件是：数列{a}的前n项和S可以写成S=an+bn的形式(其中a、b为常数).

⑵在等差数列{a}中，当项数为2n(nN)时，S-S=nd，=;当项数为(2n-1)(n)时，S-S=a，=

.

⑶若数列{a}为等差数列，则S，S-S，S-S，…仍然成等差数列，公差为.

⑷若两个等差数列{a}、{b}的前n项和分别是S、T(n为奇数)，则=.

⑸在等差数列{a}中，S=a，S=b(nm)，则S=(a-b).

⑹等差数列{a}中，是n的一次函数，且点(n，)均在直线y=x+(a-)上.

⑺记等差数列{a}的前n项和为S.①若a0，公差d0，则当a≥0且a≤0时，S最大;②若a0

，公差d0，则当a≤0且a≥0时，S最小.

等比数列前n项和公式S的基本性质

⑴如果数列{a}是公比为q的等比数列，那么，它的前n项和公式是S=

也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=

1处.因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q=1和q≠1进行讨论.

⑵当已知a，q，n时，用公式S=;当已知a，q，a时，用公式S=.

⑶若S是以q为公比的等比数列，则有S=S+qS.⑵

⑷若数列{a}为等比数列，则S，S-S，S-S，…仍然成等比数列.

⑸若项数为3n的等比数列(q≠-1)前n项和与前n项积分别为S与T，次n项和与次n项积分别为S与T，最后n项和与n项积分别为S与T，则S

，S，S成等比数列，T，T，T亦成等比数列.