石景山区2015九年级数学上册期中测试题(含答案解析)
第Ⅰ卷(共32分)
一、选择题(本题共8道小题,每小题4分,共32分)
在每道小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的,请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上.
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=3,则sinA的值是
A.
B.
C.
D.
2.如图,A,B,C都是⊙O上的点,若∠ABC=110°,则∠AOC的度数为
A.70° B.110° C.135° D.140°
3.如图,平行四边形ABCD中,E为DC的中点,AC与BE交于点F.则
△EFC与△BFA的面积比为
A.
B. 1∶2 C.1∶4 D.1∶8
4.将抛物线 向右平移1个单位后,得到的抛物线的表达式是
A.
B.
C.
D.
5.将 化为 的形式, , 的值分别为
A. ,
B. ,
C. ,
D. ,
6.如图,为测学校旗杆的高度,在距旗杆10米的A处,测得旗杆顶部B的
仰角为 ,则旗杆的高度BC为
7.已知:二次函数 的图象如图所示,下列说法中正确的是
A.
B.
C.
D.当 时,
8.如图,正方形ABCD的边长为a,动点P从点A出发,沿折线A→B→D→C的路径运动,到达点C时运动停止.设点P运动的路程长为x,AP长为y,则y关于x的函数图象大致是()
第Ⅱ卷(共88分)
二、填空题(本题共4道小题,每小题4分,共16分)
9.一个扇形的圆心角为120°,半径为3,则这个扇形的弧长为 .(结果保留 )10.写出一个反比例函数 ,使它的图象在各自象限内, 的值随 值
的增大而减小,这个函数的表达式为 .
11. 如图,△ABC中,AB=8,AC=6,点D在AC上且AD=2,如果要在AB上找一点E,使△ADE与△ABC相似,那么AE= .
12.二次函数 的图象如图,点A0位于坐标原点,
点A1,A2,A3…An在y轴的正半轴上,点B1,B2,B3,…,
Bn在二次函数位于第一象限的图象上,点C1,C2,C3,…,
Cn在二次函数位于第二象限的图象上,四边形 A0B1A1C1,四边形A1B2A2C2,四边形A2B3A3C3,…,四边形An-1BnAn Cn都是菱形,∠A0B1A1=∠A1B2A2=∠A2B3A3…
=∠An-1BnAn=120°.则A1的坐标为 ;
菱形An-1BnAnCn的边长为 .
三、解答题(本题共6道小题,每小题5分,共30分)
13.计算: .
14.已知:二次函数
(1)若二次函数的图象过点 ,求此二次函数图象的对称轴;
(2)若二次函数的图象与 轴只有一个交点,求此时 的值.
15.如图,⊙O与割线AC交于点B,C,割线AD过圆心O,且∠DAC=30°.若⊙O的半径OB=5,AD=13,求弦BC的长.
16. 已知:如图,在△ 中, , , ,求 和 的长.
17.一次函数 与反比例函数 的图象都过点 , 的图象与 轴交于点 .
(1)求点 坐标及反比例函数的表达式;
(2) 是 轴上一点,若四边形ABCD是平行四边形,直接写出点D的坐标,并判断D点是否在此反比例函数的图象上,并说明理由.
18. 已知:如图,△ 中, 于 , , 是 的中点, , ,求 和 的长.
四、解答题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)
19.甲、乙两位同学玩转盘游戏,游戏规则:将圆盘平均分成三份,分别涂上红,黄,绿三种颜色,两位同学分别转动转盘两次(若压线,重新转).若两次指针指到的颜色相同,则甲获胜;若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜;其余情况则视为平局.
(1)请用画树状图的方法,列出所有可能出现的结果;
(2)试用概率说明游戏是否公平.
20.体育测试时,九年级一名男生,双手扔实心球,已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分,如果球出手处A点距离地面的高度为2m,当球运行的水平距离为6m时,达到最大高度5m的B处(如图),问该男生把实心球扔出多远?(结果保留根号)
21.已知:如图,Rt△AOB中, ,以OA为半径作⊙O,BC切⊙O 于点C,连接AC交OB于点P.
(1)求证:BP=BC;
(2)若 ,且PC=7,
求⊙O的半径.
22.阅读下面材料:
小乔遇到了这样一个问题:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为CB,CA边上的点,且AE=BC,BD=CE,BE与AD的交点为P,求∠APE的度数;
小乔发现题目中的条件分散,想通过平移变换将分散条件集中,如图2,过点B作BF//AD且BF=AD,连接EF,AF,从而构造出△AEF与△CBE全等,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2).
请回答: 的度数为___________________.
参考小乔同学思考问题的方法,解决问题:
如图3, 为⊙O的直径,点 在⊙ 上, 、 分别为 , 上的点,且 , , 与 交于点 ,在图3中画出符合题意的图形,并求出 的值.
五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)
23.已知二次函数 在 与 的函数值相等.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若二次函数的图象与x轴交于A,B两点(A在B左侧),与y轴交于点
C,一次函数 经过B,C两点,求一次函数的表达式;
(3)在(2)的条件下,过动点 作直线 //x轴,其中 .将二次函数图象在直线 下方的部分沿直线 向上翻折,其余部分保持不变,得到一个新图象M.若直线 与新图象M恰有两个公共点,请直接写出 的取值范围.
24.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,D为AB的中点,∠EDF=90°,DE交AC于点G,DF经过点C.
(1)求∠ADE的度数;
(2) 如图2,将图1中的∠EDF绕点D顺时针方向旋转角 ( ),旋转过程中的任意两个位置分别记为∠E1DF1,∠E2DF2 , DE1交直线AC于点P,DF1交直线BC于点Q,DE2交直线AC于点M,DF2交直线BC于点N,求 的值;
(3)若图1中∠B= ,(2)中的其余条件不变,判断 的值是否为定值,如果是,请直接写出这个值(用含 的式子表示);如果不是,请说明理由.
25.如图1,平面直角坐标系 中,点 , ,若抛物线 平移后经过 , 两点,得到图1中的抛物线 .
(1)求抛物线 的表达式及抛物线 与 轴另一个交点 的坐标;
(2)如图2,以 , 为边 作矩形 ,连结 ,若矩形 从 点出发沿射线 方向匀速运动,速度为每秒1个单位得到矩形 ,求当点 落在抛物线 上时矩形的运动时间;
(3)在(2)的条件下,如图3,矩形从 点出发的同时,点 从 出发沿矩形的边 以每秒 个单位的速度匀速运动,当点 到达 时,矩形和点 同时停止运动,设运动时间为 秒.
①请用含 的代数式表示点 的坐标;
②已知:点 在边 上运动时所经过的路径是一条线段,求点 在边 上运动多少秒时,点 到 的距离最大.
石景山区2015九年级数学上册期中测试题(含答案解析)参考答案
阅卷须知:
为了阅卷方便,解答题中的推导步骤写得较为详细,考生只要写明主要过程即可.若考生的解法与本解法不同,正确者可参照评分参考给分,解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
一、选择题(本题共8道小题,每小题4分,共32分)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 C D C B B A C A
二、填空题(本题共4道小题,每小题4分,共16分)
9. ; 10.只要 即可; 11. 或 ; 12. ; .
三、解答题(本题共6道小题,每小题5分,共30分)
13.解: .
= ……………………………4分
= . ……………………………5分
14.解:(1)将 代入二次函数表达式,求得 ………………1分
将 代入得二次函数表达式为: ……2分
配方得:
∴二次函数图象的对称轴为 …………3分
(2)由题意得: …………………………………4分
求得 . ……………………………………………………………5分
15.解:过点 作 于点 ……1分
∵AD过圆心O,AD=13,⊙O的半径是 5,
∴ AO=8 ………2分
∵∠DAC=30°∴OE=4 ………3分
∵OB=5, ∴ 勾股得BE=3………4分
∴BC=2BE=6 ………5分
16.解:过点 作 ,交 的延长线于点 ………1分
在△ 中, ,
………2分
∴ ……… 3分
……… 4分
在Rt△ 中, , …5分
17.解:
(1)由题意: 令 ,则 ∴ ……………1分
∵A在直线 上∴ …………… ……2分
∵ 在反比例函数 图象上
∴ ∴反比例函数的解析式为: ……………3分
(2)∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ …………4分
∴ 在反比例函数 的图象上 ……5分
18. 解:
∵ ,∴
∵ 是 的中点,
∴ ……… 1分
∵ ∴设 ,
在Rt△ 中,
∴ , ………2分
在Rt△ 中由勾股定理 ,
∴ ………3分
由 ,得 ………4分
∴ ……5分
四、解答题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)
19.解:(1)
……………….1分
(红,红),(红,黄),(红,绿),(黄,红),(黄,黄),
(黄,绿),(绿,红),(绿,黄),(绿,绿) ………2分
(2) ………………..3分
………………………4分
………………..5分
20.解:(说明:根据建系方法的不同,对应给分)
以地面所在直线为x轴,过点A与地面的垂线作为y轴建立平面直角坐标系如图所示. …………………1分
则 ,
设抛物线解析式为 ,
∵ 在抛物线上
∴ 代入得:
∴ …………….3分
令
∴ (舍), ……………. 4分
∴
答:该同学把实心球扔出 m. ……………… 5分
21.(1)证明:连接 ………………1分
BC是⊙O切线
………………2分
(2) 延长AO交⊙O于点E,连接CE
在 中
设
则 ………3分
………4分
解得:x=3
……………5分
22.解:(1) ∠APE=45° ………1分
(2) 过点B作FB//AD且FB=AD,连结EF和AF
∴四边形AFBD是平行四边形,
, ………2分
∵AB是⊙O直径,∴∠C=90°
∴ =90°
∵ , ,
∴ ,∴
∴△AEF∽△CBE ……3分
∴ ,∠1=∠3,又∵∠2+∠3=90°
∴∠1+∠2=90°,即∠FEB=90° ……4分
在Rt△BEF中,∠FEB=90°∴
又∵ ∴ ……5分
五、解答题(本题共3道小题,23、24每小题各7分,25题8分,共22分)
23.(1)由题意得 .……………………1分
解得 .
∴ 二次函数的解析式为: .…………………2分
(2)令 ,解得 或 ……………………3分
∴ , ,
令 ,则
∴
将B、C代入 ,解得 ,
一次函 数的解析式为: ……………………4分
(3) 或 ……………………7分
24.解:
(1)∵∠ACB=90°,D为AB的中点
∴CD=DB
∴∠DCB=∠B
∵∠B=60°
∴∠DCB=∠B=∠CDB=60°
∴∠CDA=120°
∵ ∠EDC=90°
∴∠ADE=30° ………………2分
(2)∵∠C=90°,∠MDN= 90°
∴∠DMC+∠CND=180°
∵∠DMC+∠PMD=180°,
∴∠CND=∠PMD
同理∠CPD=∠DQN
∴△PMD∽△QND ………4分
过点D分别做DG⊥AC于G, DH⊥BC于H
可知DG, DH分别为△PMD和△QND的高
∴ …………………5分
∵DG⊥AC于G, DH⊥BC于H
∴DG ∥BC
又∵D为AC中点
∴G为AC中点
∵∠C=90°,
∴四边形CGDH 为矩形有CG=DH=AG
Rt△AGD中,
即 ……………………6分
(3) 是定值,值为 ………7分
25.解:
(1)依题意得: ,
∴抛物线 的解析式为: ………………………1分
另一交点为(6,0) ………………………………………2分
(2)解法一:依题意:在运动过程中,
经过t秒后,点 的坐标为: ………………………3分
将 代入
舍去负值得:
经过 秒 落在抛物线 上 …………………………………………4分
解法二:射线 解析式为:
∴ 解得:
∴ ……………………………3分
∴
∴经过 秒 落在抛物线 上 …………………………………4分
(3)① 设
(I)当 时,即点P在 边上, ,
∴ , ……………………………5分
(II)当 时,即点P在 边上(不包含 点),
, ,
∴ , ……………………6分
综上所述: ∴当 时,
当 时,
②当点 在 运动时, ,
点P所经过的路径所在函数解析式为:
又∵直线 解析式为:
∴DC∥AP
∴△DCP面积为定值 ……………7分
∴CP取得最小值时,点D到CP的距离最大,
如图,当CP⊥AP时,CP取得最小值
过点P作PM⊥y轴于点M,∴∠PMC=90°
∵
∴ ,
∵∠DCO+∠PCM=90°,
∠CPM+∠PCM=90°
∴
∴
在Rt△PMC中,∠PMC=90°
∴ ∴
检验:
∴经过 秒时,点D到CP的距离最大 ………………8分