浙教版2015初三年级数学下册期中重点试题(含答案解析)
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.在直角三角形 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角 的正弦值和正切值（ ）
A.都缩小 B.都扩大2倍
C.都没有变化 D.不能确定
2. 如图是教学用的直角三角板，边AC=30 cm，∠C=90°，
tan∠BAC= ，则边BC的长为（）
A.30 cm B.20 cm
C.10 cm D.5 cm
3.一辆汽车沿坡角为 的斜坡前进500米，则它上升的高度为（ ）
A.500sin B. C.500cos D.
4.如图，在△ 中， =10，∠ =60°，∠ =45°，
则点 到 的距离是（ ）
A.10 5 B.5+5
C.15 5 D.15 10
5. 的值等于（ ）
A.1 B. C. D.2
6.计算 的结果是( )
A. B. C. D.
7.如图，在 中，
则 的值是( )
A. B. C. D.
8.上午9时，一船从 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30 分到达 处，如图所示，从 ， 两处分别测得小岛 在北偏东45°和北偏东15°方向，那么 处与小岛 的距离为（ ）
A.20海里 B.20 海里
C.15 海里 D.20 海里
9. AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（）
A． 40° B． 50° C． 60° D． 70°
10. 如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切点，连结 交⊙ 于点 ,连结 ,若∠ ＝45°,则下列结论正确的是（ ）
A． B.
C. D.
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.在离旗杆20 m的地方用测角仪测得旗杆杆顶的仰角为 ，如果测角仪高1.5 m， 那么
旗杆的高为________m.
12.如果sin = ，则锐角 的余角是__________.
13.已知∠ 为锐角，且sin = ，则tan 的值为__________.
14.如图，在离地面高度为5 m的 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成 角， 则拉线 的长为__________m(用 的三角函数值表示).
15.AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连结AD，若∠ =25°，则∠C =__________度.
16.直线l与半径为4的⊙O相切于点A， P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连结PA．设PA＝x，PB＝y，则（x－y）的最大值是 ．
17. 如图所示， ， 切⊙O于 ， 两点，若 ，⊙O的半径为 ，
则阴影部分的面积为_______.
18. 如图是一个艺术窗的一部分，所有的四边形都是正方形，
三角形是直角三角形，其中最大正方形的边长为 ，则
正方形A，B的面积和是_________．
三、解答题（共66分）
19.(8分)计算:6tan230°－cos 30°?tan 60°－2sin 45°+cos 60°.
20.(8分)如图，李庄计划在山坡上的 处修建一个抽水泵站，抽取山坡下水池中的水用于灌溉，已知 到水池 处的距离 是50米，山坡的坡角∠ =15°，由于受大气压的影响，此种抽水泵的实际吸水扬程 不能超过10米，否则无法抽取水池中的水，试问抽水泵站能否建在 处?
21.(8分) 如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q.
（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连结DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说
明理由；
（2）若cos B= ，BP=6，AP=1，求QC的长.
22.(8分)在Rt△ 中，∠ =90°，∠ =50°， =3，求∠ 和a(边长精确到0.1).
23.(8分) 在△ 中， ， ， ．若 ，如图①，根据勾股定理，则 .若△ 不是直角三角形，如图②和图③，请你类比勾股定理，试猜想 与 的关系，并证明你的结论．
24.(8分)某电视塔 和楼 的水平距离为100 m，从楼顶 处及楼底 处测得塔顶 的仰角分别为45°和60°，试求楼高和电视塔高(结果精确到0.1 m).
25.(8分) 如图，点 在 的直径 的延长线上，点 在 上，且 ，
∠ °.
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为2，求图中阴影部分的面积.
26.（10分）AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的
切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线DB于点F，AF交⊙O于点H，连结BH.
（1）求证：AC=CD；
（2）若OB=2，求BH的长.
浙教版2015初三年级数学下册期中重点试题(含答案解析)参考答案及解析
一、选择题
1.C 解析：根据锐角三角函数的概念知，如果各边的长度都扩大2倍，那么锐角 的各三角函数均没有变化．故选C．
2.C 解析：在直角三角形ABC中，tan∠BAC=
根据三角函数定义可知：tan∠BAC= ，
则BC=AC tan∠BAC=30× =10 (cm)．
故选C．
3.A 解析：如图，∠ = ， =500米，则 =500sin ．故选A．
4.C 解析：如图，作AD⊥BC，垂足为点D.在Rt△ 中，∠ =60°，
∴ = ．
在Rt△ 中，∠ =45°，∴ = ，
∴ =（1+ ） =10．解得 =15﹣5 ．
故选C．
5.C
6.D 解析： .
7.C 解析： .
8.B 解析：如图，过点 作 ⊥ 于点 ．
由题意得， =40× =20（海里），∠ =105°．
在Rt△ 中， = ? 45°=10 ．
在Rt△ 中，∠ =60°，则∠ =30°，
所以 =2 =20 （海里）．
故选B．
9.B 解析：连结OC，如图所示.
∵ 圆心角∠BOC与圆周角∠CDB都对弧BC，
∴ ∠BOC=2∠CDB，又∠CDB=20°，∴ ∠BOC=40°，
又∵ CE为 的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°，
∴ ∠E=90° 40°=50°．
故选B.
10. A 解析：∵ 是 的直径， 与 切于 点且∠ ＝ ,
∴ 、 和 都是等腰直角三角形.∴ 只有 成立.故选A.
二、填空题
11.（1.5+20tan ） 解析：根据题意可得：旗杆比测角仪高20tan m，测角仪高1.5 m，
故旗杆的高为（1.5+20tan ）m．
12.30° 解析：∵ sin = ， 是锐角，∴ =60°．
∴ 锐角 的余角是90°﹣60°=30°．
13. 解析：由sin = = 知，如果设 =8 ，则 17 ，
结合 2+ 2= 2得 =15 ．
∴ tan = ．
14. 解析：∵ ⊥ 且 =5 m，∠CAD= ，
∴ = ．
15.40 解析：连结OD，由CD切⊙O于点D，得∠ODC= .
∵ OA=OD,∴ ,
∴
16. 2 解析：如图所示，
连结 ，过点O作 于点C，所以∠ACO=90°.
根据垂径定理可知， .
根据切线性质定理得， .
因为 ，所以∠PBA=90°, ∥ ,
所以 .
又因为∠ACO=∠PBA，所以 ∽ ,
所以 即 ，所以 ，
所以 = ，
所以 的最大值是2.
17. ， 切⊙ 于 ， 两点 ，
所以∠ =∠ ，所以∠
所以
所以阴影部分的面积为 = .
18.25 解析：设正方形A的边长为 正方形B的边长为 则 ，所以 .
三、解答题
19.解：原式= .
20.解：∵ =50，∠ =15°，又sin∠ = ，
∴ = ?sin∠ = 50sin 15°≈13 10，
故抽水泵站不能建在 处.
21. 分析：（1）连结OC，通过证明OC⊥DC得CD是⊙O的切线；（2）连结AC，由直径所对的圆周角是直角得△ABC为直角三角形，在Rt△ABC中根据cos B= ，BP=6，AP=1，求出BC的长，在Rt△BQP中根据cos B= 求出BQ的长，BQ BC即为QC的长.
解：（1）CD是⊙O的切线.
理由如下：如图所示，连结OC，
∵ OC=OB，∴ ∠B=∠1.又∵ DC=DQ，∴ ∠Q=∠2.
∵ PQ⊥AB，∴ ∠QPB=90°.
∴ ∠B+∠Q=90°.∴ ∠1+∠2=90°.
∴ ∠DCO=∠QCB (∠1+∠2)=180° 90°=90°.
∴ OC⊥DC.
∵ OC是⊙O的半径，∴ CD是⊙O的切线.
（2）如图所示，连结AC，
∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠ACB=90°.
在Rt△ABC中， BC=ABcos B=(AP+PB)cos B=(1+6)× = .
在Rt△BPQ中，BQ= = =10.∴ QC=BQ BC=10- = .
22.解：∠ =90° 50°=40°.∵ sin = ， =3，∴ sin ≈3×0.766 0≈2.298≈2.3.
23.解：如图①，若△ 是锐角三角形，则有 .证明如下：
过点 作 ，垂足为点 ，设 为 ，则有 .
根据勾股定理，得 ，即 .
∴ .∵ ，∴ ，∴ .
如图②，若△ 是钝角三角形， 为钝角，则有 . 证明如下：
过点 作 ，交 的延长线于点 .
设 为 ，则有 ，根据勾股定理，得 ，
即 .
∵ ，∴ ，∴ .
24.解：设 = m，∵ =100 m，∠ =45°，
∴ ?tan 45°=100(m).∴ =(100+ )m.
在Rt△ 中，∵∠ =60°，∠ =90°，
∴ tan 60°= ，
∴ = ，即 +100=100 ， =100 100 73.2(m)，
即楼高约为73.2 m，电视塔高约为173.2 m.
25．（1）证明：连结 .
∵ ， ，
∴ .
∵ , ∴ .
∴ .
∴ 是 的切线.
（2）解: ∵ ， ∴ .
∴ .
在Rt△OCD中, .
∴ .
∴ 图中阴影部分的面积为 π.
26. （1）证明：如图，连结OC.
∵ C是弧AB的中点，AB是 的直径，
∴ OC⊥AB.∵ BD是 的切线，∴ BD⊥AB,∴ OC∥BD.
∵ AO=BO,∴ AC=CD.
(2)解：∵ OC⊥AB，AB⊥BF, OC∥BF，∴ ∠COE=∠FBE.
∵ E是OB的中点，∴ OE=BE.
在△COE和△FBE中，
∴ △COE≌△FBE(ASA).
∴ BF=CO.
∵ OB=OC=2，∴ BF=2.
∴
∵ AB是直径，∴ BH⊥AF.
∵ AB⊥BF,∴ △ABH∽△AFB.∴ ,
∴