苏教版小学数学四年级上册第62页“试一试”有这样一道题:你能用简便算法计算吗?(2)5×37×2=5×2×37=10×37=370。对其运用的运算律是乘法交换律还是乘法交换律和乘法结合律,一些学生和教师产生分歧,下课后老师们在办公室内你一言我一语的争论起来。争论半天,大致分为三种观点:
一、运用了乘法交换律和乘法结合律
(1)算式5×37×2中的乘数37和2先交换了位置,然后5和2结合。认为乘法结合律的核心是谁与谁结合后使计算简便。
(2)苏教版小学数学四年级上册《教师教学用书》(以下简称“教参”)第138页针对该题有这样的叙述:对于5×37×2,“要使学生认识到:仅仅应用乘法结合律,还不能使计算简便,还得先应用乘法交换律交换乘数5与37(或37与2)的位置,再应用乘法结合律,才可以使计算简便。”教参的意思应为:先应用乘法交换律交换乘数5与37的位置,即:5×37×2=37×(5×2)=37×10=370或交换乘数37与2的位置,即:5×37×2=5×2×37=10×37=370。所以交换乘数37与2的位置的算法是运用了乘法交换律和乘法结合律。
二、5×37×2=5×2× 37时只运用了乘法交换律,5×37×2=(52)× 37时运用了乘法交换律和乘法结合律
算式5×37×2中乘数37与2交换位置后按运算顺序就应该先计算5与2的积,运算顺序没发生变化,乘法结合律的核心是改变算式的运算顺序。5×37×2=(5×2)×37时添加了小括号,结合律的重要标志是小括号的应用(《小学教材完全解读》江苏版四年级数学上册/吉林人民出版社/刘慧主编第93页)。
三、只运用了乘法交换律
(1)算式5×37×2中乘数37与2交换位置后按运算顺序就应该先计算5与2的积,运算顺序没发生变化,乘法交换律的本质是乘数的位置发生变化而运算顺序不变;乘法结合律的核心乘数的位置不变而算式的运算顺序改变。5×37×2中交换乘数37与2的位置后为5×2×37,然后按运算顺序脱式计算“=10×37=370”。
(2)《小学单元测试AB卷》苏教版四年级上册(马振生主编/青海人民出版社)第41页填空题5:把符合要求的算式序号填在括号里。①(20+40)+60=20+(40+60) ②8×5×9=5×9×8 ③a+125+75=125+75+a ④40+(60+b)=(40+60)+b……应用了加法交换律的是(应用了加法结合律的是(应用了乘法交换律的是(应用了乘法结合律的是( )。其中②和③中的乘数(加数)交换位置,参考答案是应用了乘(加)法交换律,而不是应用了乘(加)法交换律和结合律。
老师们争辩后认为第二种观点仅凭加与不加括号判断是否应用结合律的观点不可取,在这里括号加与不加都不改变运算顺序,只起到强调先算“5与2的积”的作用。坚持第一、第三种观点的老师一时难分伯仲。
就“结合”的定义,《现代汉语词典》(商务印书馆/第5版)中这样解释:动词,人或事物间发生密切联系。就“结合律”而言,就是乘数(加数)间发生密切联系。这也是持第一种观点的教师的理解:只要是两个乘(加)数相乘(加)就是“结合”。真的是这样吗?
笔者倾向于第三种观点。关于乘法(加法)的交换律和结合律,教材中虽然没有给出具体的文字叙述,但教参第130页倒数第二段也指出“加法结合律涉及到的加数位置不变,只是改变了运算顺序”,由此可以推及“乘法结合律涉及到的乘数位置不变,只是改变了运算顺序”。从算式5×37×2交换乘数位置变成5×2×37,算式的运算顺序都是从左到右依次计算,运算顺序没有改变。
下班后我翻阅发现西南师大版小学数学四年级下册第19页例3也有一道类似的例题:8×9×125。《数学教学参考书》第48页就明确叙述:如果把算式中的125与9交换,则是乘法交换律的单独应用,如果把算式中的8与9交换,则它又是乘法交换律与乘法结合律的综合应用。即:8×9×125=8×125×9=1000×9=9000是乘法交换律的单独应用,8×9×125=9×(8×125)=9×1000=9000才是运用了乘法交换律和乘法结合律。
由此看来该算法只应用了乘法交换律的观点是正确的。
(1)先要清楚什么是数学中的“交换律”。数学中的“交换律”是指:一种运算“x”和参加运算的某集合A中的任意“两个元素”a、b,一定有a*b=b*a,我们就说运算“*”对于集合A满足交换律。
也就是说,谈到“交换律”时,只是指“两个元素参加运算”的情况!所有的数学理论书籍都是这样表述的,绝无例外——这可以说是数学理论表述的一种“约定”。(在正规的数学理论书籍中,是绝对找不到将a×b×c=a×c×b也称为交换律的)
显然,乘法对于整数集合满足交换律;减法对于整数集合不满足交换律;距阵乘法对于距阵集合也不满足交换律。
(2)在25×3×4=25×4×3中,等号左边的3和4还没有进行运算呢(在25×3×4中,3只与25运算,其积75才与4运算),怎么可以运用乘法交换律交换它们的位置呢?显然,正是因为乘法还满足结合律,才能将3和4的位置交换过来:
25×3×4
=25×(3×4)(运用结合律,使3和4先进行运算)
=25×(4×3)(因为3和4进行运算了,所以可以运用交换律交换它们的位置)
=25×4×3(运用结合律,使25和4先进行运算)
总之,当“x”表示实数的乘法运算,a、b、c属于实数集合时,a×b× c确实等于a×c×b。但这决不能只看表面现象、望文生义地说是“只运用了交换律”,而是“既运用了结合律,又运用了交换律”的结果。因此,我们可以把“a×b×c=a×c×b”这样一个规律,说成是由结合律和交换律证明了的一个“推论”。
汗颜之余,细细回想加(乘)法的交换律,都是指两个加(乘)数交换位置结果不变,我只盯住“位置交换”而忽略了“两个元素参加运算”即加(乘)数的个数应该是两个。像5×37×2=5×2×37是在三个乘数之间交换位置,应用的运算律不是乘法交换律的推广而是乘法交换律和结合律的推广!进一步查阅苏教版数学四年级上册(教师教学用书》(附录一)第232页和233页也有“从加法(乘法)交换律和结合律推广”的论述证实了我的想法:三个以上的数相加(乘),任意交换加(乘)数点位置,或者先把其中的任意几个结合成一组相加(乘),再同其他数相加(乘),它们的和(积)不变。
(中小学数学·小学版)2006年第3期和7—8期、2007年1—2期也发表了有关运算律是否可以改进的文章,笔者认为一些和我一样对此模糊认识的教师之所以“糊涂”,缘于没有认清交换律和结合律的本质,没有积极探寻相关知识的理论背景,而不是改变被理论和实践断定为真理的运算律。
另外,笔者认为是西南师大版数学四年级下册(数学教学参考书)第48页的论述有误,误导了我及一部分教师,应该改为:如果把算式中的125与9交换或8与9交换,是乘法交换律与乘法结合律的综合应用。
思考:
1,教材和教参对知识的解释应该是明确的。
“课标”颁布后的各版本实验教科书和教学参考书对于知识的形成过程与情感、态度;价值观叙述过多,但对于数学概念、性质、定律的呈现“讳莫如深”,造成了不用说学生对概念、性质、定律等结论的理解偏差,就是一部分教师(特别是刚参加工作的教师)对一些知识吃不透,对于一些概念、性质、定律的本质理解模棱两可,教学中一味追求生活化、过程化,淡化对数学知识本质的揭示,使数学课失去了数学本色。
2.提高教研教学水平。
我们教师肩负着培养高素质创新型人才的历史使命,提高我们的学科专业知识水平刻不容缓。对于一些意见和分歧要正本清源,多研讨、多查阅相关资料、多请教专家学者。教学研究的目的是求真,最终是让学生获得更好的发展,尤其是在目前新课程改革的推进过程中,多一些积极探索,多+些理性的思考,倡导求真务实的精神。只有教师把知识理解正确了、透彻了,才能引导学生认识科学规律,走进数学的殿堂。希望教材、教参、辅导资料的编写人员尽可能避免出现使教师及学生产生误解或歧义甚至错误的文字叙述。
疑问让我们去探求现象的本质,辩论让我们去伪存真,思考让我们总结得失。新的课程改革为教学提供了崭新的理念,但在教材的编写和教学实践中难免出现对理念、知识理解上的偏差,只有不断地反思、实践、改进,才能不断促进教学,促进课程改革的健康发展。