同学们都在忙碌地复习自己的功课，为了帮助大家能够在考前对自己多学的知识点有所巩固，下文整理了这篇数学试题及答案，希望可以帮助到大家!
2013年清华等五校自主招生英语试题及答案
1.以
和
为两根的有理系数多项式的次数最小是多少?
A.2 B.3C.5D.6
解析：显然
为满足要求的多项式，其次数为5.
若存在
次有理系数多项式
以
和
为两根，则
必含有因式
，
，即最小次数为5.故选C.
2.在
的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法?
A.720 B.20C.518400D.14400
解析：先排3个红色車，从6行中任取3行，有
种取法;在选定的3行中第一行有6种停法，第一行选定后第二行有5种停法，第二行选定后第三行有4种停法;红車放定后，黑車只有6种停法.故停放方法共
种.故选D.
3.已知
，
，求
的值.
解析：∵
，
又由
，
，有
或
.
当
时，有
，
，
;
当
时，
，
.
4.如图，△ABC中，AD为BC边上的中线，DM、DN分别为ADB、ADC的角平分线，试比较BM+CN与MN的大小关系，并说明理由.
解析：延长ND至E，使ND=ED，连结BE、ME，
则△BED≌△CND，△MED≌△MND，ME=MN，
由BM+BEEM，得BM+CNMN.
5.设数列
满足
，前
项和为
，
，求
.
解析：∵
，
，
;
由
，有
时，
，于是
，
特征方程
有重根2，可设
，
将
，
代入上式，得
，
，
于是
，
.
6.模长为1的复数
满足
，求
.
解析：取
，便能得到
=1.
下面给出证明，
，
于是
.
=1.
7.最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数.
解析：设满足条件的正整数为
个.考虑模3的同余类，共三类，记为
，
，
.
则这
个正整数需同时满足①不能三类都有;②同一类中不能有3个和超过3个.否则都会出现三数之和为3的倍数.故
.
当
时，取1，3，7，9，其任意三数之和为11，13，17，19均为素数，满足题意，所以满足要求的正整数最多有4个.
8.已知
，
为2013个实数，满足
，且
，求证
.
解析：设
，
若
，则
，
，，
，
，
于是
，
，进而
.
若
，则
，
，，
这2013个数去掉绝对值号后只能取
和
两值，
又
，
即这2013个数去掉绝对值号后取
和
两值的个数相同，这不可能.
9.对于任意的
，求
的值.
解析：
，
，
，
，
各式相加，得
.
10.已知有
个实数，排列成
阶数阵，记作
使得数阵的每一行从左到右都是递增的，即对任意的
，当
时，有
;现将
的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的
阶数阵，记作
，即对任意的
，当
时，有
，试判断
中每一行的各数的大小关系，并加以证明.
解析：数阵
中的中每一行的各数仍是递增的.下面用反证法给出证明.
若在第
行存在
，令
，其中
，
，则当
时，
即在第
列中至少有
个数小于
，也就是
在数阵
中的第
列中至少排在第
行，这与
排在第
行矛盾.所以数阵
中的中每一行的各数仍是递增的.
这篇数学试题及答案就为大家分享到这里了。希望对大家有所帮助！