【摘要】对于高中学生的我们,数学在生活中,考试科目里更是尤为重要,高三数学试题栏目为您提供大量试题,小编在此为您发布了文章:高三数学下学期期中试题:空间向量与立体几何希望此文能给您带来帮助。
本文题目:高三数学下学期期中试题:空间向量与立体几何
空间向量与立体几何
1.如图,棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形, , ,侧棱 ,棱AA1与底面所成的角为 ,点F为DC1的中点.
(I)证明:OF//平面 ;
(II)求三棱锥 的体积.
2.如图,在四棱锥 中, 平面 ,四边形 是菱形, , , 是 上任意一点.
(1) 求证: ;
(2) 当 面积的最小值是9时,证明 平面 .
3.如图,在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形,
PD平面ABCD,E、F分别是PB、AD的中点,PD=2.
(1)求证:BC
(2)求证:EF//平面PDC;
(3)求三棱锥BAEF的体积。
4.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图,在直观图中,M是BD的中点,左视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示。
(Ⅰ)求该几何体的体积;
(Ⅱ)求证:EM∥平面ABC;
5.如图,AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上, , 交 AC 于点 M, 平面 , ,AC=4,EA=3,FC=1.
(I)证明:EM
(II)求平面 BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值.
6.如图,在底面为直角梯形的四棱锥 中 , 平面 , , , .
⑴求证: ;
(2)设点 在棱 上, ,若 ∥平面 ,求 的值.
, 为 的中点.
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求点 到面 的距离.
9.在三棱锥P-ABC中,△PAC和△PBC都是边长为2的等边三角形,AB=2,O,D分别是AB,PB的中点.
(1)求证:OD∥平面PAC;
(2)求证:PO平面ABC;
(3)求三棱锥P-ABC的体积.
11如图所示,三棱柱 中, ,平面 平面 ,
又 , 与 相交于点 .
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求 与平面 所成角的正弦值;
12.如图所示,直角梯形 与等腰直角 所在平面互相垂直, 为 的中
点, , ∥ , .[
(Ⅰ)求证:平面 平面 ;来
(Ⅱ)求证: ∥平面 ;
(Ⅲ)求四面体 的体积.
13.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图,在直观图中,M是BD的中点,左视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示。
(Ⅰ)求该几何体的体积;
(Ⅱ)求证:EM∥平面ABC;
15.如图所示,四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,PA面ABCD,PA=2,过点A作AEPB,AFPC,连接EF.
(1)求证:PC面AEF;
(2)若面AEF交侧棱PD于点G(图中未标出点G),求多面体PAEFG的体积。
16.如图,在三棱锥 中, 平面 , , 为侧棱 上一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示.
(1)证明: 平面 ;
(2)求三棱锥 的体积;
(3)在 的平分线上确定一点 ,使得 平面 ,并求此时 的长.
18.
17.已知在四棱锥 中,底面 是边长为4的正方形, 是正三角形,平面 平面 , 分别是 的中点.
(I)求平面 平面 ;
(II)若 是线段 上一点,求三棱锥 的体积.
18.如图,在梯形 中,
, , ,
四边形 为矩形,平面 平面 ,
.
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)设点 为 中点,
求二面角 的余弦值.
19.如图,FD垂直于矩形ABCD所在平面,CE//DF, .
(Ⅰ)求证:BE//平面ADF;
(Ⅱ)若矩形ABCD的一个边AB = ,EF = ,则另一边BC的长为何值时,三棱锥F -BDE的体积为 ?
21. 已知正四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2 的正方形,高为 .M为线段PC的中点.
(Ⅰ) 求证:PA∥平面MDB;
(Ⅱ) N为AP的中点,求CN与平面MBD所成角的正切值.
22.如图,已知直四棱柱 ,底面 为菱形, ,
为线段 的中点, 为线段 的中点.
(Ⅰ)求证: ∥平面 ;
(Ⅱ)当 的比值为多少时, 平面 ,
并说明理由.
, .
23.如图,棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1CA1B.
(1)证明:平面AB1C平面A1BC1;
(2)设D是A1C1上的点,且A1B∥平面B1CD,求A1D∶DC1的值.
24.如图,在四棱锥 中, 平面 ,四边形 是菱形, , , 是 上任意一点。
(1)求证: ;
(2)当 面积的最小值是9时,在线段 上是否存在点 ,使 与平面 所成角的正切值为 2?若存在?求出 的值,若不存在,请说明理由
25.如图,在四棱锥 中, 平面 ,四边形 是菱形, , , 是 上任意一点。
(1)求证: ;
(2)当 面积的最小值是9时,在线段 上是否存在点 ,使 与平面 所成角的正切值为2?若存在?求出 的值,若不存在,请说明理由
26.
如图:在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,沿对角线BD把△ABD折起,使A移到A1点,过点A1作A1O平面BCD,垂足O恰好落在CD上.
(1)求证:BC
(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.
27.如图的几何体中, 平面 , 平面 ,△ 为等边三角形, , 为 的中点.
(1)求证: 平面 ;
(2)求证:平面 平面 .
28一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.
(1)请画出该几何体的直观图,并求它的体积;
(2)证明:A1C平面AB1C1;
(3)若D是棱CC1的中点,在棱AB上取中点E,判断DE是否平行于平面AB1C1,并证明你的结论.
29.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.
(1)请画出该几何体的直观图,并求它的体积 ;
(2)证明:A1C平面AB1C1;
(3)若D是棱CC1的中点,在棱AB上取中点E,判断DE是否平行于平面AB1C1,并证明你的结论.
30.如图,已知矩形 的边 与正方形 所在平面垂直, , , 是线段 的中点。
(1)求异面直线 与直线 所成的角的大小;
(2)求多面体 的表面积。
31.如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,点E在线段AD上,且CE∥AB。
(1)求证:CE平面PAD;
(2)若PA=AB=1,AD=3,CD= ,CDA=45,求四棱锥P-ABCD的体积
32.如下图(图1)等腰梯形PBCD,A为PD上一点,且ABPD,AB=BC,AD=2BC,沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为 的二面角,连结PC、PD,在AD上取一点E使得3AE=ED,连结PE得到如下图(图2)的一个几何体.
(1)求证:平面PAB 平面PCD;
(2)求PE与平面PBC所成角的正弦值.
33.如图,在直三棱柱 中, 90, , 是 的中点.
(Ⅰ)求异面直线 与 所成的角;
(Ⅱ)若 为 上一点,且 ,求二面角 的大小.
解法一:
(Ⅰ)异面直线 与 所成的角为 . 6分
(Ⅱ) 所求二面角 为 .
34.如图,在四棱锥 中, 平面 ,四边形 是菱形, , , 是 上任意一点。
(1)求证: ;
(2)当 面积的最小值是9时,在线段 上是否存在点 ,使 与平面 所成角的正切值为2?若存在?求出 的值,若不存在,请说明理由
35.如图,PA平面ABCD,ABCD是矩
形,PA=AB=1, ,点F是PB的中点,点E在边BC
上移动。
⑴求三棱锥E-PAD的体积;
⑵当E点为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的
位置关系,并说明理由;
⑶证明:无论点E在边BC的何处,都有PEAF。
36.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P - ABCD中,平面PAD上平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等 边三角形,已知BD =2AD =8,AB =2DC = 。
(I)设M是PC上的一点,证明:平面MBD 平面PAD;
(Ⅱ)求三棱锥CPAB的体积
答 案
1.如图,棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形, , ,侧棱 ,棱AA1与底面所成的角为 ,点F为DC1的中点.
(I)证明:OF//平面 ;
(II)求三棱锥 的体积.
解:(I) 四边形ABCD为菱形且 ,
是 的中点 . ....................2分
又点F为 的中点, 在 中, , ...................................4分
平面 , 平面 , 平面 ..........6分
(II) 四边形ABCD为菱形,
, 又 ,
且 平面 ,
平面 ,
平面 ,
平面 平面 . ......................8分
在平面 内过 作 ,则 ,
是 与底面所成的角, . ................................10分
在 ,
故三棱锥 底面 上的高为 ,又 ,
所以,三棱锥 的体积 .
2.如图,在四棱锥 中, 平面 ,四边形 是菱形, , , 是 上任意一点.
(1) 求证: ;
(2) 当 面积的最小值是9时,证明 平面 .
.解:(1)证明:连接 ,设 与 相交于点 。 因为四边形 是菱形,
所以 。 又因为 平面 , 平面
为 上任意一点, 平面 ,所以 ------------------------- ------ 7分
(2)连 .由(I),知 平面 , 平面 ,所以 .
在 面积最小时, 最小,则 .
,解得 -------------------10分
由 且 得 平面 则 ,
又由 得 ,而 ,故 平面 --
3.如图,在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形,
PD平面ABCD,E、F分别是PB、AD的中点,PD=2.
(1)求证:BC
(2)求证:EF//平面PDC;
(3)求三棱锥BAEF的体积。
解证:(Ⅰ)∵四边形ABCD是正方形
BC DC
又PD 面ABCD, BC 面ABCD
BC PD, 又PD DC=D
BC 面PDC 从而BC PC--------------------4分
(Ⅱ)取PC的中点G,连结EG,GD,则
四边形EFGD是平行四边形。 EF//GD,
又
EF//平面PDC.---------------------8分
(Ⅲ)取BD中点O,连接EO,则EO//PD,
∵PD平面ABCD, EO底面ABCD,
------------12分
4.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图,在直观图中,M是BD的中点,左视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示。
(Ⅰ)求该几何体的体积;
(Ⅱ)求证:EM ∥平面ABC;
(Ⅰ)∵EA 平面ABC,EA AB,又AB AC, AB 平面ACDE
6分
∵M为BD的中点, MG∥CD且MG=12 CD,于是MG∥AE,且MG=AE,
所以四边形AGME为平行四边形,EM∥AG, EM∥平面ABC
5.如图,AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上, , 交 AC 于点 M, 平面 , ,AC=4,EA=3,FC=1.
(I)证明:EM
(II)求平面 BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值.
,即 (也可由勾股定理证得).[来源:学科网ZXXK]
, 平面 .
而 平面 ,
. 6分
(2)延长 交 于 ,连 ,过 作 ,连结 .
由(1)知 平面 , 平面 ,
.
而 , 平面 .
平面 ,
,
为平面 与平面 所成的
二面角的平面角. 8分
在 中, , ,
.
由 ,得 .
,则 .
是等腰直角三角形, .
平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 .
6.如图,在底面为直角梯形的四棱锥 中 , 平面 , , , .
⑴求证: ;
(2)设点 在棱 上, ,若 ∥平面 ,求 的值.
(1)证明:由题意知 则
------------- 6分
(2) 过 作 // 交 于 连结 ,
∵ ∥ , ∥平面 .
又∵ ∥平面 ,平面 ∥平面 , ∥ .
又∵
,即 -
7.图,棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形, , ,侧棱 ,棱AA1与底面所成的角为 ,点F为DC1的中点.
(I)证明:OF//平面 ;
(II)求三棱锥 的体积.
解:(I) 四边形ABCD为菱形且 ,
是 的中点 . ....................2分
又点F为 的中点, 在 中, , ...................................4分
平面 , 平面 , 平面 ..........6分
(II) 四边形ABCD为菱形,
, 又 ,
且 平面 ,
平面 ,
平面 ,
平面 平面 . ......................8分
在平面 内过 作 ,则 ,
是 与底面所成的角, . ................................10分
在 ,
故三棱锥 底面 上的高为 ,又 ,
所以,三棱 锥 的体积
8.已知四棱锥 的底面为菱形,且 ,
, 为 的中点.
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求点 到面 的距离.
(I)证明:连接
为等腰直角三角形
为 的中点
2分
又
是等边三角形
,4分
又
,即
6分
(II)设点 到面 的距离为
8分
, 到面 的距离
10分
点 到面 的距离为
9.在三棱锥P-ABC中,△PAC和△PBC都是边长为2的等边三角形,AB=2,O,D分别是AB,PB的中点.
(1)求证:OD∥平面PAC;
(2)求证:PO平面ABC;
(3)求 三棱锥P-ABC的体积.
(1) 分别为 的中点, ∥
又 平面 , 平面
∥平面 .4分
(2)如图,连结
, 为 中点, ,
, .
同理, , .6分
又 , , .
. , , ,
平面 .8分
(3)由(2)可知 垂直平面
为三棱锥 的高,且
.
11如图所示,三棱柱 中, ,平面 平面 ,
又 , 与 相交于点 .
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求 与平面 所成角的正弦值;
【解】(Ⅰ)由题知 , ,
所以 为正三角形,所以 ,1分[
又因为 ,且
所以 为正三角形,2分
又平行四边形 的对角线相交于点 ,所以 为 的中点,
所以 3分
又平面 平面 ,且平面 平面 ,4分
且 平面 5分
所以 平面 6分
(Ⅱ)〖解法一〗连结 交 于 ,取 中点 ,连结 , ,
则 ,又 平面
所以 平面 , ,7分
所以直线 与平面 所成角为 .8分
而在等边 中, ,所以 , ,
同理可知, ,
在 中, 10分
所以 中, , .
所以 与平面 所成角的正弦值为 .12分
〖解法二〗由于 , 平面 ,所以 平面 ,7分
所以点 到平面 的距离即点 到平面 的距离,
由 平面 ,所以 到平面 的距离即 ,8分
也所以 与平面 所成角的正弦值为 ,9分
而在等边 中, ,所以 ,
同理可知, ,所以 , 10分
又易证 平面 ,所以 ,
也所以 , 11分
所以
即 与平面 所成角的正弦值为 .
12.如图所示,直角梯形 与等腰直角 所在平面互相垂直, 为 的中
点, , ∥ , .[
(Ⅰ)求证:平面 平面 ;
(Ⅱ)求证: ∥平面 ;
(Ⅲ)求四面体 的体积.
解:(Ⅰ)∵面 面 ,面 面 , ,
面 , 2分
又∵ 面 ,平面 平面 . 4分
(Ⅱ)取 的中点 ,连结 、 ,则 ,
又∵ , , 6分
四边形 是平行四边形, ∥ ,
又∵ 面 且 面 , ∥面 . 8分
(Ⅲ)∵ ,面 面 = , 面 .
就是四面体 的高,且 =2. 10分
∵ = =2 =2, ∥ ,
13.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图,在直观图中,M是BD的中点,左视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示。
(Ⅰ)求该几何体的体积;
(Ⅱ)求证:EM∥平面ABC;
(Ⅰ)∵EA 平面ABC,EA AB,又AB AC, AB 平面ACDE
6分
∵M为BD的中点, MG∥CD且MG=12 CD,于是MG∥AE,且MG=AE,
所以四边形AGME为平行四边形,EM∥AG, EM∥平面ABC.19. (本小题满分12分)
如图,在四棱锥 中, 平面 ,底面 是菱形, .(Ⅰ)求证: 平面
(Ⅱ)若 求 与 所成角的余弦值;
(Ⅲ)当平面 与平面 垂直时,求 的长.
证明:(Ⅰ)因为四边形ABCD是菱形,所以ACBD.
又因为PA平面ABCD.所以PABD. 所以BD平面PAC.
(Ⅱ)设ACBD=O.因为BAD=60,PA=PB=2, 所以BO=1,AO=CO= .
如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系Oxyz,则
P(0, ,2),A(0, ,0),B(1,0,0),C(0, ,0).
所以
设PB与AC所成角为 ,则 .
(Ⅲ)由(Ⅱ)知 设P(0,- ,t)(t0),则
设平面PBC的法向量 ,则
所以 令 则 所以
同理,平面PDC的法向量
因为平面PCB平面PDC,所以 =0,即 解得 所以PA=
EF= SE= (10分)
15.如图所示,四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,PA面ABCD,PA=2,过点A作AEPB,AFPC,连接EF.
(1)求证:PC面AEF;
(2)若面AEF交侧棱PD于点G(图中未标出点G),求多面体PAEFG的体积。
解析:(1)证明: PA面ABCD,BC在面内, PABC BABC,BCBA=B,BC面PAB,又∵AE在面PAB内 BCAE AEPB,BCPB=B, ,AE面PBC又∵PC在面PBC内 AEPC, AEPC, AEAF=A, PC面AEF.5分
(2)PC面AEF, AGPC, AGDC PCDC=C AG面PDC, ∵GF在面PDC内AGGF △AGF是直角三角形,由(1)可知△AEF是直角三角形, AE=AG= ,EF=GF= , 又AF= ,PF= ,
16.如图,在三棱锥 中, 平面 , , 为侧棱 上一 点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示.
(1)证明: 平面 ;
(2)求三棱锥 的体积;
(3)在 的平分线上确定一点 ,使得 平面 ,并求此时 的长.
18.
解:(1)因为 平面 ,所以 ,
又 ,所以 平面 ,所以 .
由三视图可得,在 中, , 为 中点,所以 ,
所以 平面 ,4分
(2)由三视图可得 ,
由⑴知 , 平面 ,
又三棱锥 的体积即为三棱锥 的体积,
所以,所求三棱锥的体积 .8分
(3)取 的中点 ,连接 并延长至 ,使得 ,点 即为所求.
因为 为 中点,所以 ,
因为 平面 , 平面 ,所以 平面 ,
连接 , ,四边形 的对角线互相平分,
所以 为平行四边形,所以 ,又 平面 ,
所以在直角 中, .12分
17.已知在四棱锥 中,底面 是边长为4的正方形, 是正三角形,平面 平面 , 分别是 的中点.
(I)求平面 平面 ;
(II)若 是线段 上一点,求三棱锥 的体积.
(I)证明: ,
平面PAD, (6分)
∵EF//CD, 平面PAD,
∵ 平面EFG,平面EFG 平面PAD;
(II)解:∵CD//EF,CD//平面EFG,故CD上的点M到平面EFG的距离
等于D到平面EFG的距离, ,
,平面EFGH 平面PAD于EH,
D到平面EFG的距离即三角形EHD的高,等于
.
18.如图,在梯形 中,
, , ,
四边形 为矩形,平面 平面 ,
.
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)设点 为 中点,
求二面角 的余弦值.
(1)证明:
则 , ,则得
, 面 平面 ,
面 平面
平面 . 7分
(II)过 作 交 于点 ,连 ,
则 为二面角 的平面角,在 中, , ,则二面角 的余弦值为 .
19.如图,FD垂直于矩形ABCD所在平面,CE//DF, .
(Ⅰ)求证:BE//平面ADF;
(Ⅱ)若矩形ABCD的一个边AB = ,EF = ,则另一边BC的长为何值时,三棱锥F -BDE的体积为 ?
解(Ⅰ)过点E作CD的平行线交DF于点M,连接AM.
因为CE//DF,所以四边形CEMD是平行四边形.可得EM = CD且EM //CD,于是四边形BEMA也是平行四边形,所以有BE//AM,而直线BE在平面ADF外,所以BE//平面ADF. 6分
(Ⅱ)由EF = ,EM = AB = ,得 FM = 3且 .
由 可得FD = 4,从而得DE = 2.8分
因为 , ,所以 平面CDFE.
所以, . 10分
因为 , ,所以 .
综上,当 时,三棱锥F-BDE的体积为 .
20.如图,FD垂直于矩形ABCD所在平面,CE//DF, .
(Ⅰ)求证:BE//平面ADF;
(Ⅱ)若矩形ABCD的一个边AB = ,EF = ,则另一边BC的长为何值时,三棱锥F-BDE的体积为 ?
解(Ⅰ)过点E作CD的平行线交DF于点M,连接AM.
因为CE//DF,所以四边形CEMD是平行四边形.可得EM = CD且EM //CD,于是四边形BEMA也是平行四边形,所以有BE//AM,而直线BE在平面ADF外,所以BE//平面ADF. 6分
(Ⅱ)由EF = ,EM = AB = ,得FM = 3且 .
由 可得FD = 4,从而得DE = 2.8分
因为 , ,所以 平面CDFE.
所以, . 10分
因为 , ,所以 .
综上,当 时,三棱锥F-BDE的体积为 .
21. 已知正四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2 的正方形,高为 .M为线段PC的中点.
(Ⅰ) 求证:PA∥平面MDB;
(Ⅱ) N为AP的中点,求CN与平面MB D所成角的正切值.
本题主要考查空间点、线、面位置关系,线面角等基础知识,同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。
(Ⅰ)证明:在四棱锥P-ABCD中,连结AC交BD于点O,连结OM,PO.由条件可得PO= ,AC=2 ,PA=PC=2,CO=AO= .
因为在△PAC中,M为PC的中点,O为AC的中点,
所以OM为△PAC的中位线,得OM∥AP,
又因为AP 平面MDB,OM 平面MDB,
所以PA∥平面MDB. 6分
(Ⅱ) 解:设NCMO=E,由题意得BP=BC=2,且CPN=90.
因为M为PC的中点,所以PCBM,
同理PCDM,故PC平面BMD.
所以直线CN在平面BMD内的射影为直线OM,MEC为直线CN与平面BMD所成的角,
又因为OM∥PA,所以PNC=MEC.
在Rt△CPN中,CP=2,NP=1,所以tanPNC= ,
故直线 CN与平面BMD所成角的正切值为2
22.如图,已知直四棱柱 ,底面 为菱形, ,
为线段 的中点, 为线段 的中点.
(Ⅰ)求证: ∥平面 ;
(Ⅱ)当 的比值为多少时, 平面 ,
并说明理由.
(Ⅰ)证明:连接 ,由题意可知点 为 的中点. 因为点 为 的中点.
在 中, .2分
又 面 , , .6分
(Ⅱ)当 时, . 7分
四边形 为菱形,且 , .
四棱柱 为直四棱柱, 四边形 为矩形.
又 , ,
四边形 为正方形, 10分
在直四棱柱 中, , ,
四边形 为菱形, .
, .
, ,又 , .13分
, .
23.如图,棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1CA1B.
(1)证明:平面AB1C平面A1BC1;
(2)设D是A1C1上的点,且A1B∥平面B1CD,求A1D∶DC1的值.
解:(1)证明:因为侧面BCC1B1是菱形,所以B1CBC1.
又B1CA1B,且A1BBC1=B,所以B1C平面A1BC1.又B1C平面AB1C,所以平面AB1C平面A1BC1.
(2)设BC1交B1C于点E,连结DE,则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线.
因为A1B∥平面B1CD,
所以A1B∥DE.
又E是BC1的中点,
所以D为A1C1的中点,
即A1D∶DC1=1.
24.如图,在四棱锥 中, 平面 ,四边形 是菱形, , , 是 上任意一点。
(1)求证: ;
(2)当 面积的最小值是9时,在线段 上是否存在点 ,使 与平面 所成角的正切值为2?若存在?求出 的值,若不存在,请说明理由
解:(1)证明:连接 ,设 与 相交于点 。
因为四边形 是菱形,所以 。
又因为 平面 , 平面
为 上任意一点, 平面 ,所以 ------ --------7分
(2)连 .由(I),知 平面 , 平面 ,所以 .
在 面积最小时, 最小,则 .
,解得 --------------10分
由 且 得 平面 则 ,
又由 得 ,而 ,故 平面
作 交 于点 ,则 平面 ,所以 就是 与平面 所成角.
在直角三角形 中,
所以 ,设 ,则 。
由 得 。
由 得 ,即 --------------14分
25.如图,在四棱锥 中, 平面 ,四边形 是菱形, , , 是 上任意一点。
(1)求证: ;
(2)当 面积的最小值是9时,在线段 上是否存在点 ,使 与平面 所成角的正切值为2?若存在?求出 的值,若不存在,请说明理由
解:(1)证明:连接 ,设 与 相交于点 。
因为四边形 是菱形,所以 。
又因为 平面 , 平面
为 上任意一点, 平面 ,所以 --------------7分
(2)连 .由(I),知 平面 , 平面 ,所以 .
在 面积最小时, 最小,则 .
,解得 --------------10分
由 且 得 平面 则 ,[
又由 得 ,而 ,故 平面
作 交 于点 ,则 平面 ,所以 就是 与平面 所成角.
在直角三角形 中,
所以 ,设 ,则 。
由 得 。
由 得 ,即
26.
如图:在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,沿对角线BD把△ABD折起,使A移到A1点,过点A1作A1O平面BCD,垂足O恰好落在CD上.
(1)求证:BC
(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.
解:(1)因为A1O平面BCD,BC平面BCD,BCA1O,
因为BCCD,A1OCD=O,BC面A1CD.
因为A1D面A1CD,BCA1D.(6分)
(2)连结BO,则A1BO是直线A1B与平面BCD所成的角.
因为A1DBC,A1DA1B,A1BBC=B,A1D面A1BC.A1C面A1BC,A1DA1C.
在Rt△DA1C中,A1D=3,CD=5,A1C=4.
根据S△A1CD=12A1DA1C=12A1OCD,得到A1O=125,
在Rt△A1OB中,sinA1BO=A1OA1B=1255=1225.
所以直线A1B与平面BCD所成角的正弦值为1225.(12分)
27.如图的几何体中, 平面 , 平面 ,△ 为等边三角形, , 为 的中点.
(1)求证: 平面 ;
(2)求证:平面 平面 .
(1)证明:取 的中点 ,连结 .
∵ 为 的中点, 且 .
∵ 平面 , 平面 ,
, . 又 , .
四边形 为平行四边形,则 .
∵ 平面 , 平面 , 平面 .7分
(2)证明:∵ 为等边三角形, 为 的中点,
∵ 平面 , , .
∵ , 又 ,
平面 .
∵ 平面 , 平面 平面 .
28一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.
(1)请画出该几何体的直观图,并求它的体积;
(2)证明:A1C平面AB1C1;
(3)若D是棱CC1的中点,在棱AB上取中点E,判断DE是否平行于平面AB1C1,并证明你的结论.
29.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.
(1)请画出该几何体的直观图,并求它的体积;
(2)证明:A1C平面AB1C1;
(3)若D是棱CC1的中点,在棱AB上取中点E,判断DE是否平行于平面AB1C1,并证明你的结论.
解:(1)几何体的直观图如图.
四边形BB1C1C 是矩形,BB1=CC1=3,BC=1,四边形AA1C1C是边长为3的正方形,且垂直于底面BB1C1C,其体积V=12133=32 4分
(2)证明:∵ACB=90,BCAC.
∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,BCCC1.
∵ACCC1=C,BC平面ACC1A1,
BCA1C.∵B1C1∥BC,B1C1A1C.
∵四边形ACC1A1为正方形,A1CAC1.
∵B1C1AC1=C1,
A1C平面AB1C1. 8分
(3)当E为棱AB的中点时,
DE∥平面AB1C1.
证明:如图,取BB1的中点F,连结EF,FD,DE,
∵D,E,F分别为CC1,AB,BB1的中点,EF∥AB1.
∵AB1平面AB1C1,EF平面AB1C1,
EF∥平面AB1C1.
同理可得FD∥平面AB1C1,
又EFFD=F,平面DEF∥平面AB1C1.
而DE平面DEF,DE∥平面AB1C1. 12分
30.如图,已知矩形 的边 与正方形 所在平面垂直, , , 是线段 的中点。
(1)求异面直线 与直线 所成的角的大小;
(2)求多面体 的表面积。
解:(1)因为 ,所以 即为异面直线 与 所成的角(或其补角), 2分
连结 ,在 中, 所以 ,
又 ,所以 ,所以 是等边三角形,
5分
所以 ,即异面直线 与 所成的角为 ; 6分
(2) 8分
10分
。
31.如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,点E在线段AD上,且CE∥AB。
(1)求证:CE平面PAD;
(2)若PA=AB=1,AD=3,CD= ,CDA=45,求四棱锥P-ABCD的体积
【解析】(1)证明:因为PA平面ABCD,CE 平面ABCD,所以PACE,
因为ABAD,CE∥AB,所以CEAD,又PA AD=A,所以CE平面PAD.
(2)解:由(1)可知CEAD,在直角三角形ECD中,DE=CD ,CE=CD .
又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以
= = ,又PA平面ABCD,PA=1,
所以四棱锥P-ABCD的体积等于
32.如下图(图1)等腰梯形PBCD,A为PD上一点,且ABPD,AB=BC,AD=2BC,沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为 的二面角,连结PC、PD,在AD上取一点E使得3AE=ED,连结PE得到如下图(图2)的一个几何体.
(1)求证:平面PAB 平面PCD;
(2)求PE与平面PBC所成角的正弦值.
解:(1)证明: ,又二面角P-AB-D为
,又AD=2PA
有平面图形易知:AB 平面APD,又 , ,
,且
,又 , 平面PAB 平面PCD---------7分
(2)设E到平面PBC的距离为 , AE//平面PBC
所以A 到平面PBC的距离亦为
连结AC,则 ,设PA=2
=
,设PE与平面PBC所成角为
---------------14分
33.如图,在直三棱柱 中, 90, , 是 的中点.
(Ⅰ)求异面直线 与 所成的角;
(Ⅱ)若 为 上一点,且 ,求二面角 的大小.
解法一:
(Ⅰ)异面直线 与 所成的角为 . 6分
(Ⅱ) 所求二面角 为 .
34.如图,在四棱锥 中, 平面 ,四边形 是菱形, , , 是 上任意一点。
(1)求证: ;
(2)当 面积的最小值是9时,在线段 上是否存在点 ,使 与平面 所成角的正切值为2?若存在?求出 的值,若不存在,请说明理由
解:(1)证明:连接 ,设 与 相交于点 。
因为四边形 是菱形,所以 。
又因为 平面 , 平面
为 上任意一点, 平面 ,所以 --------------7分
(2)连 .由(I),知 平面 , 平面 ,所以 .
在 面积最小时, 最小,则 .
,解得 --------------10分
由 且 得 平面 则 ,
又由 得 ,而 ,故 平面
作 交 于点 ,则 平面 ,所以 就是 与平面 所成角.
在直角三角形 中,
所以 ,设 ,则 。
由 得 。
由 得 ,即
35.如图,PA平面ABCD,ABCD是矩
形,PA=AB=1, ,点F是PB的中点,点E在边BC
上移动。
⑴求三棱锥E-PAD的体积;
⑵当E点为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的
位置关系,并说明理由;
⑶证明:无论点E在边BC的何处,都有PEAF。
解:
(1)因为点E到平面PAD的距离即为1,所以
4分
(2)直线EF与平面PAC平行
因为E、F两点分别为边PB和BC的中点,所以EF//PC,且直线EF不在平面PAC内,直线PC在平面PAC内,所以,直线EF//面PAC
8分
(3)因为PA=AB且F为PB中点,所以AFPB,又因为PA平面ABCD,所以PABC,由于地面ABCD为矩形,所以BCAB,所以BC面PAB,所以BCAF,所以AF面PBC,所以无论点E在BC上何处时,总有AFPE。
36.
如图,在四棱锥P - ABCD中,平面PAD上平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD =2AD =8,AB =2DC = 。
(I)设M是PC上的一点,证明:平面MBD 平面PAD;
(Ⅱ)求三棱锥CPAB的体积
证明:
(Ⅰ)在 中,由于 , , ,
所以 .故 .2分
又平面 平面 ,平面 平面 , 平面 ,
所以 平面 . 4分
又 平面 ,故平面 平面 .6分
(Ⅱ)过 作 交 于 ,
由于平面 平面 ,
所以 平面 .
因此 为棱锥P-ABC的高.8分
又 是边长为4的等边三角形.
因此 .
又 ,10分