简易逻辑练习题本节应理解或,且,非的含义,并能准确运用这三个逻辑联结词,能判断复合命题的真假,能判断充分必要条件。
例1. 已知命题P:所有有理数都是实数,命题Q:正数的对数都是负数,则下列命题中真命题是()
B C D
解: P真Q假, 为假, 为真,选D
例2. 若 、 是两个简单命题,且P或Q的否定是真命题,则必有()
P真Q真BP假Q假CP真Q假DP假Q真
解: P或Q的否定是 ,且P或Q的否定为真命题, 为真命题,
P假Q假,选B
例3. 已知命题P:若 且 ,则 ,试写出P的否命题,命题的否定,判断它们的真假,并说明理由。
解:P的否命题:若 或 ,则 为假命题。
P:若 且 ,则 为假命题。
例4. 下列命题的否命题为假命题的是
A. P:存在
B. P:有的三角形是正三角形
C. P:所有能被3整除的整数为奇数
D. P:每一个四边形的四个顶点共圆
解:A.P的否命题:任意 ,为真
B.P的否命题:所有的三角形都不是正三角形,为假
C,P的否命题:存在一个能被3整除的整数不是奇数,0是能被3整除的非奇数,该命题为真
D. P的否命题:存在一个四边形的四个顶点不共圆,为真命题
答案选B
例5. 设 则 均为偶数是 是偶数的()条件
仅充分B仅必要C充要D既不充分也不必要
解: 是偶数, 可同时为奇数,选A
例6.命题P:不等式 的解集是 ,命题Q:在 中, 是 成立的充要条件,则()
P真Q假BP且Q真CP或Q假DP假Q真
解:由 得 , ,即P为真命题
在 中,由正弦定理 和 有 , 即
另一方面,由 得 , 即 , 命题Q为真命题,
答案为B
例6. 已知 ,命题P:关于 的方程 没有实数根。命题Q: ,命题P是命题Q的()条件
仅充分B仅必要C充要D既不充分也不必要
解:方程 没有实根,
又
P是Q的仅充分条件选A
例8,已知P: ,Q: , 是 的必要不充分条件,求实数m的取值范围。
解:由 得
即
由 得 , 即
是 的必要不充分条件且
,故 ,
练习
1. 是 成立的()条件
仅充分B仅必要C充要D既不充分也不必要
解: ,反之当 不能推出 ,选A
2.下列四个命题中真命题是()
①若 ,则 互为倒数的逆命题;
②面积相等的三角形全等的否命题;
③若 则方程 有实根的逆否命题;
④若 ,则 的逆否命题。
①②B②③C①②③D③④
解:①的逆命题为若 互为倒数,则 为真命题。
对③ , ③真,选C
3.在 中, 是 的_________条件
解:在 中, 不能推出
若
所以在 中, 是 的必要不充分条件。
4.命题P: ;命题Q:关于 的方程 有两个小于1的正根,则P是Q的_______条件
解:设 ,则 ,
P是Q的必要不充分条件。
(选做)5. ,设P: 和 是方程 的两个根,不等式 对任意实数 恒成立,Q:函数 有两个不同的实根。求使P且Q为假命题的实数m的取值范围。
解:由题设 ,
当 时 的最小值为3
要使 对任意 恒成立,只须 即
又 的判别式 得 或
综上要使P且Q为假命题,只须P假Q假或P真Q假或P假Q真,