数学充要条件训练题一、选择题(每小题6分，共42分)
1.已知A和B是两个命题，如果A是B的充分但不必要条件，那么 A是 B的( )
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：B
解析：A B B A,B A等价于 A B.
2.(2010浙江杭州二中模拟，4)2且b是a+b4且ab的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：A
解析：充分性显然，当a=5,b=1时，有a+b4,但2且b不成立.
3.(2010北京西城区一模，5)设a、bR,则b是|b|的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件
答案：B
解析：ab并不能得到a|b|.
如2-5,但2|-5|,且a|b| ab.故选B.
4.已知条件p:|x|=x,条件q:x2-x,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.?既不充分也不必要条件
答案：A
解析：p:A={0,1},q:B={x|x-1或x0}.
∵A B，p是q的充分不必要条件.
5.已知真命题：b是cd的充分不必要条件，和a
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充分必要条件 D.?既不充分也不必要条件
答案：A
解析：b是cd的充分不必要条件等价于d a
6.(2010全国大联考，2)不等式1
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.?即不充分也不必要条件
答案：A
解析：当1
7.已知抛物线y=ax2+bx+c(a0,b,cR)则关于x的不等式ax2+bx+c
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
答案：B
解析：ax2+bx+c
二、填空题(每小题5分，共15分)
8.方程3x2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是______________.
答案：0
解析：其充要条件为 0
9.已知p:|x+1|2和q: 0,则 p是 q的__________________.(填充分不必要必要不充分充要条件既不充分又不必要?条件)
答案：充分不必要
解析：∵p:x-3或x1,
q:x-4或x1,
p:-31, q:-41.
p是 q的充分不必要条件.
10.给出下列各组p与q:
(1)p:x2+x-2=0,q:x=-2;
(2)p:x=5,q:x
(3)p:内错角相等，q：两条直线互相平行;
(4)p：两个角相等，q:两个角是对顶角;
(5)p:xM,且xP,q:xP(P,M ).
其中p是q的充分不必要条件的组的序号是_____________________.
答案：(2)(5)
解析：(1)(4)中p是q的必要不充分条件;?(3)中p是q的充要条件;(2)(5)满足题意.
三、解答题(1113题每小题10分，14题13分，共43分)
11.设x、yR,求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy0.
证明：充分性：如果xy=0,那么①x=0,y②y=0,x③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|.
如果xy0,即x0或x0.
当x0时，|x+y|=x+y=?|x|+|y|?;
当x0时，|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|.总之，当xy0时，有|x+y|=|x|+|y|.
必要性：解法一：由|x+y|=|x|+|y|及x,yR,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,|xy|=xy,xy0.
解法二：|x+y|=|x|+|y| (x+y)2=(|x|+|y|)2 x2+y2+2xy=x2+y2+2|xy| xy=|xy| xy0.
12.已知a,b是实数，求证：a4-b4=1+2b2成立的充分条件是a2-b2=1,该条件是否是必要条件?证明你的结论.
证明：该条件是必要条件.
当a2-b2=1即a2=b2+1时，
a4-b4=(b2+1)2-b4=2b2+1.
a4-b4=1+2b2成立的充分条件是a2-b2=1又a4-b4=1+2b2,故a4=(b2+1)2.
a2=b2+1，即a2-b2=1故该条件是必要条件.
13.已知关于x的方程：(a-6)x2-(a+2)x-1=0.(aR),求方程至少有一负根的充要条件.
解析：∵当a=6时，原方程为8x=-1,有负根x=- .
当a6时，方程有一正根，一负根的充要条件是：x1x2=- 0,即a6.
方程有两负根的充要条件是：
即26.
方程至少有一负根的充要条件是：26或a=6或a6,即a2.
14.(1)是否存在实数p，使4x+p是x2-x-2的充分条件?如果存在，求出p的取值范围;
(2)是否存在实数p，使4x+p是x2-x-2的必要条件?如果存在，求出p的取值范围.
解析：(1)当x2或x-1时，x2-x-20,
由4x+p0得x- ,故- -1时,
- -1 x2-x-2.
p4时，4x+p是x2-x-2的充分条件.
(2)不存在实数p，使4x+p是x2-x-2的必要条件.