在中国古代把数学叫算术,又称算学,最后才改为数学。数学分为两部分,一部分是几何,另一部分是代数。小编准备了高二上学期中数学理科试卷,具体请看以下内容。
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)
1.在直角坐标系中,直线 的斜率是 ▲ .
2.圆 的半径是 ▲ .
3.椭圆 的焦点坐标为 ▲ .
4.抛物线 的准线方程为 ▲ .
5.双曲线 的渐近线方程是 ▲ .
6.若圆 与圆 相外切,则实数 ▲ .
7.已知点P为直线 上一动点,则P到坐标原点的距离的最 小值是 ▲ .
8.若方程 表示椭圆,则 的取值范围是 ▲ .
9.已知两圆 和 相交于A,B 两点,则直线AB的方程是 ▲ .
10.已知点P在抛物线 上运动,F为抛物线的焦点,点M的坐标为(3,2),当 取最小值时,点P的坐标为 ▲ .
11.已知点P是圆C: 上任意一点,若点P关于直线 的 对称点仍在圆C上,则 的最小值是 ▲ .
12.已知O为坐标原点,点 ,动点P与两点O、A的距离之比为1∶ ,则P点轨迹方程是 ▲ .
13.设集合 ,当 时,则实数 的取值范围是 ▲ .
14.已知椭圆C: 的左、右焦点分别 、 ,过点 的直线交椭圆C于 两点,若 ,且 ,则椭圆C的离心率是 ▲ .
二、解答题(本题共6小题,共90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分14分)已知三点P(5,2)、 (-6,0)、 (6,0).
(Ⅰ)求以 、 为焦点且过点P的椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设点P、 、 关于直线 的对称点分别为 、 、 ,求以 、 为焦点且过点 的双曲线的标准方程.
17.(本题满分14分)某城市交通规划中,拟在以点O为圆心,半径为50m的高架圆形车道外侧P处开一个出口,以与圆形道相切的方式,引申一条直道连接到距圆形道圆心O正北250 m的道路上C处(如图),以O为原点,OC为y轴建立如图所示的直角坐标系,求直道PC所在的直线方程,并计算出口P的坐标.
18.(本题满分16分)过点P(4,4)作直线l与圆O: 相交于A、B两点.
(Ⅰ)若直线l变动时,求AB中点M的轨迹方程;
(Ⅱ)若直线l的斜率为 ,求弦AB的长;
(Ⅲ)若一直线与圆O相切于点Q且与 轴的正半轴, 轴的正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,求点Q的坐标.
19.(本题满分16分)在平面直角坐标系 中,抛物线C的顶点在原点,经过点 其焦点F在 轴上.
(Ⅰ)求抛物线C的标准方程;
(Ⅱ)求过点F和OA的中点的直线的方程 ;
(Ⅲ)设点 ,过点F的直线交抛物线C于B、D两点,记PB,PF,PD的斜率分别为 ,求证: .
20.(本题满分16分)在平面直角坐标系 中,已知定点A(-4,0),B(4,0),动点P与A、B连线的斜率之积为 .
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)设点P的轨迹与y轴负半轴交于 点C,半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上,且在y轴右侧,圆M被y轴截得弦长为 .
⑴求圆M的方程;
⑵当r变化时,是否存在定直线l与动圆 M均相切?如果存在,求出定直线l的方程;如果不存 在,说明理由.
第一学期期中试卷
高二数学(理科)参考答案
一、填空题
1. 2 2.3 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. x + 3y 5 =0 10. 11. 18
12. (或 ) 13. 14.
二、解答题
15. 解:由题意得:(1) ,解得: ,所以 3分
因为所求直线与直线 平行,所以 ,
则所求直线方程为: 7分
(2)直线MN所在直线的斜率为: 10分
因为所求直线与两点 所在直线垂直,所以
则所求直线方程为: 14分
16.解:(1)由题意,可设所求椭圆的标准方程为 + ,其半焦距 .
,
, , 5分
故所求椭圆的标准方程为 + ; 7分
(2)点P(5,2)、 (-6,0)、 (6,0)关于直线y=x的对称点分别为:
、 (0,-6)、 (0,6) 9分
设所求双曲线的标准方程为 - ,由题意知半焦距 ,
,
, , 12分
故所求双曲线的标准方程为 . 14分
17. 解:圆形道的方程为x2+y2=2500, 2 分
引伸道与北向道路的交接点C的坐标为(0,250 ), 4分
设 的方程为 ,由图可知
又 与圆 相切, 到 距离 ,
解得 ,
的方程为 ①, 8分
又 ,
则OP的方程是: ② 10分
由①②解之得 点坐标 13分
引伸道在所建坐标系中的方程为 ,出口P的坐标是
14分
18.解:(1)因为点M是AB的中点,所以OMAB,
则点M所在曲线是以OP为直径的圆 ,其方程为 ,
即 ; 4分
(2)因为直线l的斜率为 ,所以直线l的方程是: ,
即 , 6分
设点O到直线l的距离为d,则 ,
所以 ,解得: ; 10分
(3)设切点Q的坐标为 .则切线斜率为 .
所以切线方程为 .又 ,则
12分
此时,两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积 .14分
由 知当且仅当 时, 有最大值.
即 有最小值.因此点Q的坐标为 . 16分
19.解:(Ⅰ)由题意可设抛物线的方程为: ,
因为抛物线经过点 ,所以 ,解得: ,
则抛物线C的标准方程是: ; 3分
(Ⅱ)由(1)知:F(1,0),OA的中点M的坐标为 ,
则 ,所以直线FM的方程是: ; 6分
(Ⅲ)当直线的斜率不存在时,则
所以 ,则 ;8分
当直线的斜率存在时,设为k,则直线的方程为
设 ,则 ,
同理可得: ,所以
= , 12分
由方程组 消去y,并整理得: ,
所以 , 14分
则 ,又 ,所以 ,
综上所述: 16分
20. 解:(Ⅰ)设P点的坐标为(x, y),则
因为动点P与A、B连线的斜率之积为 ,所以 ,
化简得: ,所以点P的轨迹方程为 (x4) 6分
(Ⅱ)(1)由题意知:C(0, 2),A(4,0),
所以线段AC的垂直平分线方程为y=2x+3, 8分
设M(a, 2a+3)(a0),则⊙M的方程为 ,
因为圆心M 到y轴的距离d=a,由 ,得: ,10分
所以圆M的方程为 。11分
(2)假设存在定直线l与动圆M均相切,
当定直线l的斜率不存在时,不合题意, 12分
当定直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+b,
则 对任意r0恒成立,
由 ,得:
, 14分
所以 ,解得: 或 ,
所以存在两条直线y=3和4x+3y 9=0与动圆M均相切 16分
高中是人生中的关键阶段,大家一定要好好把握高中,编辑老师为大家整理的高二上学期中数学理科试卷,希望大家喜欢。