解答题是高考数学的重点题目，下面是查字典数学网整理的解答题综合练习，请考生练习。
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量m=(a，c)，n=(cos C，cos A).
(1)若m∥n，c=a，求角A;
(2)若mn=3bsin B，cos A=，求cos C的值.
解 (1)∵m∥n，acos A=ccos C.
由正弦定理得sin Acos A=sin Ccos C，
化简得sin 2A=sin 2C.
∵A，C(0，)，2A=2C(舍)或2A+2C=，
A+C=，B=，
在Rt△ABC中，tan A==，A=.
(2)∵mn=3bcos B，acos C+ccos A=3bsin B.
由正弦定理得sin Acos C+sin Ccos A=3sin2B，
从而sin(A+C)=3sin2B.
∵A+B+C=，sin(A+C)=sin B，从而sin B=，
∵cos A=0，A(0，)，A，sin A=.
∵sin Asin B，
ab，从而AB，B为锐角，
cos B=.
cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B
=-+=.
2.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点.
(1)求证：BF∥平面A1EC;
(2)求证：A1EC平面ACC1A1.
证明 (1)连接AC1并交A1C于点O，连接OE，OF，
在正三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形，所以OA=OC1.
又因为F为AC的中点，
所以OF∥CC1且OF=CC1.
因为E为BB1的中点，
所以BE∥CC1且BE=CC1，
所以BE∥OF且BE=OF，
所BEOF是平行四边形，
所以BF∥OE.
又BF平面A1EC，
OE平面A1EC，
所以BF∥平面A1EC.
(2)由(1)知BF∥OE，因为AB=CB，
F为AC的中点，
所以BFAC，所以OEAC.
又因为AA1底面ABC，而BF底面ABC，
所以AA1BF.由BF∥OE得OEAA1，
而AA1，AC平面ACC1A1，
且AA1AC=A，
所以OE平面ACC1A1.
因为OE平面A1EC，
所A1EC平面ACC1A1.
3.若两个椭圆的离心率相等，则称它们为相似椭圆.如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：+=1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为相似椭圆.
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设P为椭圆C2上异于A1A2的任意一点，过P作PQx轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为△PA1A2的垂心.(垂心为三角形三条高的交点)
(1)解 由题意可知A1(-，0)，A2(，0)，
椭圆C1的离心率e=.
设椭圆C2的方程为+=1(a0)，则b=.
因为==，所以a=2.
所以椭圆C2的方程为+=1.
(2)证明 设P(x0，y0)，y00，则+=1，
从而y=12-2x.
x=x0代入+=1得+=1，
从而y2=3-=，
即y=.
因为P，H在x轴的同侧，
所以取y=，即H(x0，).
所以kA1PkA2H==
==-1，
从而A1PA2H.
又因为PHA1A2，所以H为△PA1A2的垂心.
4.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BCABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC=a，ABC=，设△ABC的面积为S1，正方形的PQRS面积为S2.
(1)用a，表示S1和S2;
(2)当a固定，变化时，求的最小值.
解 (1)S1=asin acos =a2sin 2，
设正方形边长为x，则BQ=，RC=xtan ，
+xtan +x=a，
x==，
S2==.
(2)当a固定，变化时，=，
令sin 2=t，则=(0
利用单调性求得t=1时，=.
5.已知无穷数列{an}的各项均为正整数，Sn为数列{an}的前n项和.
(1)若数列{an}是等差数列，且对任意正整数n都有Sn3=(Sn)3成立，求数列{an}的通项公式;
(2)对任意正整数n，从集合{a1，a2，，an}中不重复地任取若干个a1，a2，，an一起恰好是1至Sn全体正整数组成的集合.
(ⅰ)求a1，a2的值;
(ⅱ)求数列{an}的通项公式.
解 (1)设无穷等差数列{an}的公差为d，因为Sn3=(Sn)3对任意正整数n都成立，所以分别取n=1，n=2时，则有：
因为数列{an}的各项均为正整数，
所以d0.可得a1=1，d=0或d=2.
当a1=1，d=0时，an=1，Sn3=(Sn)3成立;
当a1=1，d=2时，Sn=n2，所以Sn3=(Sn)3.
因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为an=1或an=2n-1.
(2)(ⅰ)记An={1，2，，Sn}，显然a1=S1=1.
对于S2=a1+a2=1+a2，有A2={1，2，，Sn}={1，a2，1+a2，|1-a2|}={1，2，3，4}，
故1+a2=4，所以a2=3.
(ⅱ)由题意可知，集合{a1，a2，，an}按上述规则，共产生Sn个正整数.
而集合{a1，a2，，an，an+1}按上述规则产生的Sn+1个正整数中，除1，2，，Sn这Sn个正整数外，还有an-1，an+1+i，|an+1-i|(i=1，2，，Sn)，共2Sn+1个数.
所以，Sn+1=Sn+(2Sn+1)=3Sn+1.
又Sn+1+=3，
所以Sn=3n-1-=3n-.
当n2时，an=Sn-Sn-1
=3n--=3n-1.
而a1=1也满足an=3n-1.
所以，数列{an}的通项公式是an=3n-1.
6.已知函数f(x)=aln x-(a为常数).
(1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x+2y-5=0垂直，求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)当x1时，f(x)2x-3恒成立，求a的取值范围.
解 (1)函数f(x)的定义域为{x|x0}，f(x)=.
又曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x+2y-5=0垂直，
所以f(1)=a+1=2，即a=1.
(2)由f(x)=(x0)，当a0时，
f(x)0恒成立，
所以f(x)的单调增区间为(0，+).
当a0时，
由f(x)0，
得0
所以f(x)的单调增区间为;
由f(x)0，得x-，
所以f(x)的单调减区间为.
(3)设g(x)=aln x--2x+3，x1，+)，
则g(x)=+-2=.
令h(x)=-2x2+ax+1，考虑到h(0)=10，
当a1时，
h(x)=-2x2+ax+1的对称轴x=1，
h(x)在[1，+)上是减函数，h(x)h(1)=a-10，
所以g(x)0，g(x)在[1，+)上是减函数，
所以g(x)g(1)=0，
即f(x)2x2-3恒成立.
a1时，令h(x)=-2x2+ax+1=0，
得x1=1，x2=0，
当x[1，x1)时，h(x)0，
即g(x)0，
g(x)在[1，x1)上是增函数;
当x(x1，+)时，h(x)0，
即g(x)0，
g(x)在(x1，+)上是减函数.
所以0=g(1)
即f(x1)2x1-3，不满足题意.
综上a的取值范围为a1.
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