一次函数与不等式
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一、学习指引
1.知识要点
(1)图形与平面直角坐标系(2)一次函数与不等式(3)一次函数与不等式的应用
2.方法指引
(1)熟知一次函数的图象与性质，实际问题一定要注意自变量取值.
(2)一次函数的图象在X轴上方的部分X的取值相当于一次不等式大于0的解;一
次函数的图象在X轴下方的部分X的取值相当于一次不等式小于0的解.
(3)函数题一定要注意一种重要的数学思想即数形结合.
(4)会用图象上的点、实际问题中的变量关系以及图象的形状和位置或具有的性质
等各种条件，灵活运用转化、分类讨论和方程等思想方法，用待定系数法来确定函数的解析式.
一、典型例题
(一)填空与选择
1.如图，在直角坐标系中，已知点 ， ，对△ 连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④，则三角形⑩的直角顶点的坐标为 .
2.如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2 007次，点P依次落在点P1, P2, P3, P4, ，P2 007的位置，则P2 007 的横坐标x2 007=_ .
3.若直线y=mx+4，x=l，x=4和x轴围成的直角梯形的面积是7，则m的值是( )
A.-12 B.- 23 C.-32 D.-2
4.已知直线y1=ax+b和y2=mx+n的图象如图所示，根据图象填空.
⑴ 当x_ _时，y1当x___ _时，y1=y2;
当x___ ___时，y1
⑵ 方程组 是 .
5.如图，直线 经过 ， 两点，则不
等式 的解集为 .
6.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如图所示的方式放置.点A1，A2，A3，和点C1，C2，C3，分别在直线 (k0)和
x轴上，已知点B1(1，1)，B2(3，2)，
则Bn的坐标是______________.
(二)例题讲解
例1：某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60 cm30 cm，B型板材规格是40 cm30 cm.现只能购得规格是150 cm30 cm的标准板材.一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：(图是裁法一的裁剪示意图)
裁法一 裁法二 裁法三
A型板材块数 1 2 0
B型板材块数 2 m n
设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y
张、按裁法三裁z张，且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用.
(1)上表中，m = ，n = ;
(2)分别求出y与x和z与x的函数关系式;
(3)若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，
并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材
多少张?
例2.512汶川大地震后，某健身器材销售公司通过当地红十字会向灾区献爱心，捐出了五月份全部销售利润.已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号器材若干台，每种型号器材不少于8台，五月份支出包括这批器材进货款64万元和其他各项支出(含人员工资和杂项开支)3.8万元.这三种器材的进价和售价如下表，人员工资y1(万元)和杂项支出y2(万元)分别与总销售量x(台)成一次函数关系(如图).
(1)求y1与x的函数解析式; (2)求五月份该公司的总销售量;
(3)设公司五月份售出甲种型号器材t台，五月份总销售利润为W(万元)，求W与t的函数关系式;(销售利润=销售额-进价-其他各项支出)
(4)请推测该公司这次向灾区捐款金额的最大值.
单位
万元/台 甲 乙 丙
进价 0.9 1.2 1.1
售价 1.2 1.6 1.3
(例2图)
例3.如图①，一条笔直的公路上有A、B、C 三地，B、C 两地相距 150 千米，甲、乙两辆汽车分别从B、C 两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往C、B 两地.甲、乙两车到A 地的距离 、 (千米)与行驶时间 x(时)的关系如图②所示.
根据图象进行以下探究：
⑴请在图①中标出 A地的位置，并作简要的文字说明;
⑵求图②中M点的坐标，并解释该点的实际意义;
⑶在图②中补全甲车的函数图象，求甲车到 A地的距离 与行驶时间x的函数关系式;
⑷A地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，两部对讲机在15千米之内(含15千米)时能够互相通话，求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间.
例4.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为 ，两车之间的距离为 ，图中的折线表示 与 之间的函数关系.
根据图象进行以下探究：
信息读取
(1)甲、乙两地之间的距离为 km;
(2)请解释图中点 的实际意义;
图象理解
(3)求慢车和快车的速度;
(4)求线段 所表示的 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围;
问题解决
(5)若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同.在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇.求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时?
例5.如图，直线y=- x+1分别与X轴，Y轴交于B，A.
(1)求B，A的坐标;
(2)把△AOB以直线AB为轴翻折，点O落在点C，以BC为一边做等边三角形△BCD,求D点的坐标.
例6.如图,直线y=kx+8分别与x轴、y轴相交于A、B两点,O为坐标原点,点A的坐标为(4,0).
(1)求k的值;
(2)若P为y轴(点B除外)上的一点,过P作PC轴,交直
线AB于C.设线段PC的长为n,点P的坐标为(0,m).
①如果点P在线段BO(点B除外)上移动，求n与m的函
数关系式，并求自变量m的取值范围;
②如果点P在射线BO(B、O两点除外)上移动，连结PA，则APC的面积S也随之发生变化。请你在面积S的整个变化过程中，求当m为何值时，S=4?
一次函数与不等式同步训练
班级 姓名
【基础巩固】
一、填空与选择
1.已知一次函数 ,函数 随着 的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
2.小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示.下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是 ( )
A.12分钟 B.15分钟 C.25分钟 D.27分钟
3.如图，点A、B、C、D在一次函数 的图象上，它们的横坐标依次为-1、1、2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积这和是 ( )
A. B. C. D.
4.函数y1=x+1与y2=ax+b的图象如图所示，这两个函数图象如图所示，那么使y1,y2的值都大于零的x的取值范围是 .
5.如图1直线 上放置了一个边长为6的等边三角形，以A为坐标原点，记为A0，直线L为X轴建立直角坐标系当等边.如果等边三角形翻转204次，则顶点A204的坐标为_____ .
二、解答题
6.如图直线y= x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点P处，求直线AM的解析式.
7.某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票.同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体
育馆.下图中线段 、 分别表示父、子俩送票、取票过程中，
离体育馆的路程 (米)与所用时间 (分钟)之间的函数关系，
结合图象解答下列问题(假设骑自行车和步行的速度始终保持不变)：
(1)求点 的坐标和 所在直线的函数关系式;
(2)小明能否在比赛开始前到达体育馆?
8.一辆客车从甲地开往甲地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1(km)，出租车离甲地的距离为y2(km)，客车行驶时间为x(h)，y1，y2与x的函数关系图象如图12所示：
(1)根据图象，直接写出y1，y2关于x的函数关系式;
(2)分别求出当x=3，x=5，x=8时，两车之间的距离;
(3)若设两车间的距离为S(km)，请写出S关于x的函数关系式;
(4)甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200km，若客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油。求A加油站到甲地的距离.
【能力拓展】
一、选择题
9.线段 (13，)，当a的值由-1增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积为 ( )
A.6 B.8 C.9 D.10
10.如图，某电信公司提供了 两种方案的移动通讯费用 (元)与通话时间 (元)之间的关系，则以下说法错误的是( )
A.若通话时间少于120分，则 方案比 方案便宜20元
B.若通话时间超过200分，则 方案比 方案便宜12元
C.若通讯费用为60元，则 方案比 方案的通话时间多
D.若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分
11.如图，在 轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5.分别过这些点作 轴的垂线与三条直线 ， ， 相交，其中 .则图中阴影部分的面积是( )
A.12.5B.25 C.12.5 D.25
12.如图，直线 经过点 和点 ，
直线 过点A，则不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
二、解答题
13.为缓解油价上涨给出租车待业带来的成本压力，某巿自2010年11月17日起，调整出租车运价，调整方案见下列表格及图像(其中a,b,c为常数)
行驶路程 收费标准
调价前 调价后
不超过3km的部分 起步价6元 起步价a 元
超过3km不超出6km的部分 每公里2.1元 每公里b元
超出6km的部分 每公里c元
设行驶路程xkm时，调价前的运价y1(元)，调价后的运价为y2(元)如图，折线ABCD表示y2与x之间的函数关系式，线段EF表示当03时，y1与x的函数关系式，根据图表信息，完成下列各题：
①填空：a=______,b=______,c=_______.
②写出当x3时，y1与x的关系，并在上图中画出该函数的图象.
③函数y1与y2的图象是否存在交点?若存在，求出交点的坐标，并说明该点的实际意义，若不存在请说明理由.
14.教室里放有一台饮水机(如图)，饮水机上有两个放水管.课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水.假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接的水量都是相等的.两个放水管同时打开时，他们的流量相同.放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着.饮水机的存水量y(升)与放水时间x(分钟)的函数关系如图所示：
(1)求出饮水机的存水量y(升)与放水时间x(分钟)(x2)的函数关系式;
(2)如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，则前22个同学接水结束共需要几分钟?
(3)按(2)的放法，求出在课间10分钟内班级中最多有多少个同学能及时接完水?
一次函数与不等式(典型例题)
(一)填空与选择
1.(36，0).2.x2 007=_2006_.3.B4. (1)0 =0 0 (2)
5. 6.
(二)例题答案
例1.解：(1)0 ，3.
(2)由题意，得 ， . ， .
(3)由题意，得 .
整理，得 . 由题意，得
解得 x90.
【注：事实上，090 且x是6的整数倍】由一次函数的性质可知，当x=90时，Q最小.此时按三种裁法分别裁90张.75张.0张.
例2.解：(1)y1=0.05x+0.2 (2)y1+y2=3.8 的X=60 (3)设乙P台0.9t+1.2p+1.1(60-t-p)=64
P=2t-20 w=0.5t+4.2 (4) 当t=24时w最大为16.2
例3. ⑴A 地位置如图所示.使点A满足AB ∶AC=2∶3 .
⑵乙车的速度1502=75千米/时,
，M(1.2，0)
所以点 M表示乙车 1.2 小时到达 A地。
⑶甲车的函数图象如图所示.
当 时， ;
当 时， .
⑷由题意得 ，得 ; ，得 .
两车同时与指挥中心通话的时间为 小时.
例4. (1)900 (2) 当慢车行使4h时两车相遇 (3)v慢=75km/h, v快=150km/h
(4) 快车行使900km到达乙地，所以快车行使 ,到达乙地，此时两车距离
为 ,所以C的坐标为(6，450), 解得y=225x-900(4 x 6)
(5) 慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时慢车的行使时间为4.5h,把x=4.5代入y=225-900得y=112.5，此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之
间的距离，故两列快车相距112.5km，所以时间间隔为 , 即第二列快车比第一列快车晚出发0.75小时
例5. , (2) ,
例6. (1)k= -2 (2)① ②若P在OB上,m=4; 若P在OB的延长线上,则
一次函数与不等式(同步训练)
【基础巩固】
一、填空与选择
1.C 2.B 3.B 4.-1
二、解答题
6.解：可得：OP=4 OM=3，直线AM的解析式为：
7. 解：(1)解：
从图象可以看出：父子俩从出发到相遇时花费了15分钟 1分
设小明步行的速度为x米/分，则小明父亲骑车的速度为3x米/分
依题意得：15x+45x=3600.解得：x=60.
所以两人相遇处离体育馆的距离为6015=900米.
所以点B的坐标为(15，900).设直线AB的函数关系式为s=kt+b(k0).
由题意，直线AB经过点A(0，3600).B(15，900)得：
解之，得
直线AB的函数关系式为： .
(2)解：小明取票后，赶往体育馆的时间为：
小明取票花费的时间为：15+5=20分钟.
∵2025 小明能在比赛开始前到达体育馆.
8.解：(1)y1=60x(010) y2=-100x+600(06)
(2)当x=3时，y1=180，y2=300， y2-y1=120
当x=5时，y1=300，y2=100，y1-y2=200
当x=8时，y1=480，y2=0 y1-y2=y1=480
(3) 1600x+600 (0 )
S= 1600x-600 ( 6)
60x (610)
(4)由题意得：S=200
①当0 时，-160x+600=200，x= ，y1=60x=150km.
②当 6时，160x-600=200，x=5，y1=300km.
③当610时，60x360，不合题意.
即：A加油站到甲地距离为150km或300km.
【能力拓展】
一、选择题
9.A 10.D 11.C 12.B
二、解答题
13. 解：(1)a=7, b=1.4, c=2.1
(2)
(3)有交点为 其意义为当 时是方案调价前合算，当 时方案调价后合算.
14.(1) (2)由图可得每个同学接水量为0.25升,则前22个同学需接水5.5升,存水量12.5升,故 ,得x=7.
(3)当x=10时,存水量 ,所以课间10分钟最多有32人及时接完水.