高二数学下试题2014
高二数学下试题一、选择题
1.已知锐角△ABC中，AB=4，AC=1，△ABC的面积为3，则ABAC的值为()
A.2 B.-2
C.4 D.-4
解析：ABAC=|AB||AC|cosA=ABACcosA=4cosA.由S△=12ABACsinA=3得sinA=32，∵△ABC是锐角三角形，cosA=12，ABAC=2，故选A.
答案：A
2.在△ABC中，若A=60，b=16，此三角形的面积S=2203，则a的值为()
A.206 B.25
C.55 D.49
解析：由题可得S=12bcsinA=2203，c=55，a2=b2+c2-2bccosA=2401，a=49.
答案：D
3.三角形两边之差为2，夹角的余弦值为35，面积为14，那么这个三角形的此两边长分别是()
A.3和5 B.4和6
C.6和8 D.5和7
解析：∵cosA=35，sinA=45，S=12bcsinA=14，bc=35，又b-c=2，b=7，c=5.
答案：D
4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=1，B=45，S△ABC=2，则△ABC的外接圆直径是()
A.43 B.5
C.52 D.62
解析：因为S△ABC=12acsinB，即2=121c22，所以c=42，b2=a2+c2-2accosB=1+32-214222=25.所以b=5，所以2R=bsinB=522=52，选C.
答案：C
5.在△ABC中，若a=2，b=22，c=6+2，则A的度数是()
A.30 B.45
C.60 D.75
解析：cosA=b2+c2-a22bc=32，所以A=30，选A.
答案：A
6.在△ABC中，A?B=1?2，ACB的平分线CD把三角形面积分成3?2两部分，则cosA等于()
A.13 B.12
C.34 D.0
解析：因为CD是ACB的平分线，所以
S△ACDS△BCD=12ACCDsinACB212BCCDsinACB2=ACBC=sinBsinA=32.
因为B=2A，所以sinBsinA=sin2AsinA=2cosA=32，
所以cosA=34，选C.
答案：C
7.在△ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则AC边上的高为()
A.322 B.332
C.32 D.33
解析：由余弦定理，得cosA=9+16-13234=1224=12，sinA=32.AC边上的高=ABsinA=323.故选B.
答案：B
8.在△ABC中，A与B恰满足sin3A2=sin3B2，则三边a、b、c必须满足()
A.a=b
B.a=b=c
C.a+b=2c
D.(a-b)(a2+b2-ab-c2)=0
解析：由sin3A2=sin3B2得：3A2=3B2或3A2+3B2=，
即A=B或A+B=23，A=B或C=3，
a=b或cosC=12=a2+b2-c22ab，
即a=b或a2+b2-ab-c2=0，选D.
答案：D
9.若△ABC的周长等于20，面积是103，A=60，则BC边的长是()
A.5 B.6
C.7 D.8
解析：依题意及面积公式S=12bcsinA得103=12bcsin60，得bc=40.又周长为20，故a+b+c=20，b+c=20-a，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bccos60=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc，故a2=(20-a)2-120，解得a=7，故选C.
答案：C
10.用长度分别为2,3,4,5,6的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为()
A.85 B.610
C.355 D.20
解析：设三角形三边长为a，b，c，则
p=a+b+c2=2+3+4+5+62=10.
S=1010-a10-b10-c
10[10-a+10-b+10-c3]3.
当且仅当10-a=10-b=10-c，即a=b=c时取等号，又a+b+c=20，a=b=c=203，这与a，b，cN+不符.
上式取不到等号，又为了使a，b，c接近相等，可知当三边长分别为2+5,3+4,6，即7,7,6时，Smax=10334=610，选B.
答案：B
二、填空题
11.△ABC中sinA=13，cosB=33，a=3，则b=________.
解析：由题意知：B为锐角，sinB=63，由正弦定理知：b=asinBsinA=36313=36.
答案：36
12.已知△ABC中，ABAC0，S△ABC=154，|AB|=3，|AC|=5，则BAC=________.
解析：由ABAC0，得A是钝角，由S△ABC=154，|AB|=3，|AC|=5，得1235sinA=154sinA=12，得BAC=150.
答案：150
13.直角三角形的周长为6+23，斜边上的中线长为2，则三角形的面积等于________.
解析：因为直角三角形斜边上的中线长为2，所以斜边长为4.如图，
AB=4，AC+BC=2+23.令CBA=，为锐角，则BC=4cos，AC=4sin.所以4cos+4sin=2+23，所以sin(4)=6+24，所以4=512，所以6，所以BC=ABcos=23，所以S△ABC=12ABBCsin=1242312=23.
答案：23
14.在△ABC中，已知|AB|=|AC|=2，且ABAC=3，则BC边长为________.
解析：由ABAC=3|AB||AC|cosA=3cosA=34，由余弦定理可求得BC=2.
答案：2
三、解答题
15.在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=3，BD是AC边上的中线.求BD的长.
解析：由余弦定理，得cosA=32+42-32234=5312，
在△ABD中，
BD2=AB2+AD2-2ABADcosA
=(3)2+22-2325312=2，
BD=2.
16.如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，CD=6，AC=63，DAB=60，求梯形的高.
解析：过点C作CEAB，CE即为所求.
∵CD∥AB，DAB=60，
ADC=120，
由正弦定理得sinDAC=6sin12063=12，
DAC=30，CAB=30，
在Rt△CAE中，CE=ACsinCAB=12AC=33，
即梯形的高为33.
17.如图在△ABC中，AB=2，AC=4，线段CB的垂直平分线交线段AC于D，DA-DB=1，求△BCD的面积.
解析：由于D是线段BC的垂直平分线上的一点，
BD=CD，于是AD-DB=AD-DC=1.
又∵AD+DC=AC=4，AD=52，DC=32.
在△ABD中，由余弦定理，得
cosADB=AD2+BD2-AB22ADBD=254+94-425232=35，
sinADB=1-cos2ADB=45.
∵BDC+ADB=180，
sinBDC=sinADB=45，
S△BCD=12BDCDsinBDC
=12323245=910.
18.将一块圆心角为120，半径为20 cm的扇形铁片截成一块矩形，如图所示有两种裁法：让矩形的一边在扇形的一条半径OA上，如左图，或让矩形一边与AB平行，如右图，问哪种裁法能得到最大面积的矩形?并求出这个最大值.
解析：(1)如图所示，
设AOM=(090)，则OP=20cos，PM=20sin.
S1=OPPM=20cos20sin=400sincos=200sin2，
当=45时，S1取最大面积为200 cm2.
(2)如图所示，设AOM=(060)，
在△OMQ中，由正弦定理得
QM=OMsinsinOQM=OMsinsin120=40sin3，
由图形的对称性知：AOB的平分线OC为扇形的对称轴，MOC=60-，
MN=2DM=2OMsin(60-)=40sin(60-)，
因此S2=QMMN=40sin340sin(60-)
=80033[cos(2-60)-cos60]
=80033[cos(2-60)-12].
当cos(2-60)=1,2-60，=30时，
S2有最大值为40033cm2，
∵S2S1，
第二种方法截得的矩形有最大面积，最大面积为40033cm2.