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高二数学试题:成都七中高二数学月考试题四
19、如图1,平面四边形关于直线对称,
.把沿折起(如图2),使二面角的余弦值
等于.对于图2,
(1)求;
(2)证明:平面;
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
. 解:(Ⅰ)取的中点,连接,
由,得:
就是二面角的平面角, 2分
在中,
4分
(Ⅱ)由,
, 又平面.9分
(Ⅲ)方法一:由(Ⅰ)知平面平面
平面平面平面平面,
作交于,则平面,就是与平面所成的角
.12分
故与平面所成的角的正弦为
方法二:设点到平面的距离为,
∵
于是与平面所成角的正弦为 .
20、如图,已知平行六面体的底面为正方形,
分别为上、下底面中心,且,
(1)求证:平面平面;
(2)若点、分别在棱、上,
且,问点在何处时,?
(3)若,求二面角的余弦值.
解(1)证明: 建立空间直角坐标系如图所示,
设底面正方形的边长为a,,
则 ,
由 ,得 平面
又平面, 平面平面 4分
(2) 由(1)及,
得
设,则,
由 8分
(3)由, 从而 ,
设 是平面的一个法向量, 则
又 平面的一个法向量为
据图知二面角为锐二面角,
所以二面角的余弦值为 12分
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