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高二数学试题：湖南师大附中高二数学试题答案
6．C【解析】△ABC的内心为O，连结OA、OB、OC，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a、b、c；类比：设四面体A－BCD的内切球球心为O，连接OA、OB、OC、OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原面为底面的四面体， 高都为r，所以有V＝3(1)(S1＋S2＋S3＋S4)r.
7．B【解析】f(x)＝x4－4x3－12x2＝x2(x＋2)(x－6)，
所以f(x)有两个极值点x＝－2及x＝6.
8．D【解析】据椭圆的定义，由已知得|MF2|＝8，而ON是△MF1F2的中位线，故|ON|＝4.
二、填空题
9.
10．2【解析】①A＝－5＜0，②A＝－5＋2＝－3＜0，③A＝－3＋2＝－1＜0，
④A＝－1＋2＝1＞0，⑤A＝21＝2.
11．4n＋2【解析】第1个图案中有6块白色地面砖，第二个图案中有10块，第三个图案中有14块，归纳为：第n个图案中有4n＋2块．
12．x－y＝0
13.3(3)【解析】由题意知a(b)＝tan 30＝3(3)?e＝a(c)＝3(3).
∵K25.75.024，
因此，有97.5%的把握认为午休与考生及格有关系，即能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为午休与考生及格有关系．(10分)
对今后的复习的指导意义就是：在以后的复习中，考生应尽量适当午休，以保持最佳的学习状态．(11分)
(2)据题意设A1(2)1()，M(－1，yM)，(8分)
由A、M、O三点共线有1(2)1()＝－1(yM)?y1yM＝－4，(10分)
又y1y2＝－4
则y2＝yM，故直线MB平行于x轴．(12分)
必考Ⅱ部分(50分)
一、填空题
1．10【解析】设P(xP，yP)，∵|PM|＝|PF|＝yP＋1＝5，yP＝4，
则|xP|＝4，S△MPF＝2(1)|MP||xP|＝10.
二、选择题
2．B【解析】由选择支分析可考查函数y＝x(f（x）)的单调性，而f(x)0且f(x)0，则当x0时x(f（x）)＝x2(xf（x）－f（x）)0，
即函数x(f（x）)在(－，0)上单调递减，故选B.
三、解答题
3．【解析】(1)f(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)(2分)
列表如下：
x | (－，－1) | －1 | (－1，1) | 1 | (1，＋) |
f(x) | － | 0 | ＋ | 0 | － |
f(x) | 递减 | 极小值 | 递增 | 极大值 | 递减 |
f极小值(x)＝f(－1)＝－2，f极大值(x)＝f(1)＝2.(7分)w w w .x k b 1.c o m
(2)由(1)知，当0
此时fmax(x)＝f(a)＝－a3＋3a；(9分)
当a1时，f(x)在(0，1)上递增，在(1，a)上递减，
即当x[0，a]时fmax(x)＝f(1)＝2(12分)
综上有h(a)＝2，a（1，＋）.(－a3＋3a，a（0，1]，)(13分)
4．【解析】 (1)设函数(x)＝xln x－x＋1，则(x)＝ln x(1分)
则(x)在(0，1)上递减，在(1，＋)上递增，(3分)
(x)有极小值(1)，也是函数(x)的最小值，则(1)＝1ln 1－1＋1＝0
故xln xx－1.(5分)
(2)f(x)＝ex－a(6分)
①a0时，f(x)0，f(x)是单调递增函数，又f(0)＝0，
所以此时函数有且仅有一个零点x＝0；(7分)
②当a0时，函数f(x)在(－，ln a)上递减，在(ln a，＋)上递增，
函数f(x)有极小值f(ln a)＝a－aln a－1(8分)
ⅰ.当a＝1时，函数的极小值f(ln a)＝f(0)＝a－aln a－1＝0
则函数f(x)仅有一个零点x＝0；(10分)
ⅱ.当01或A1时，由(1)知极小值f(ln a)＝a－aln a－10，又f(0)＝0
当01时，LN p a0，易知x－时，ex0，－ax－1＋，
故此时f(x)＋，则f(x)还必恰有一个小于ln a的负根；
当a1时，2ln a0，计算f(2ln a)＝a2－2aln a－1
考查函数g(x)＝x2－2xln x－1(x1) ，则g(x)＝2(x－1－ln x)，
再设h(x)＝x－1－ln x(x1)，h(x)＝1－x(1)＝x(x－1)0
故h(x)在(1，＋)递增，则h(x)h(1)＝1－1－ln 1＝0，
所以g(x)0，即g(x)在(1，＋)上递增，则g(x)g(1)＝12－21ln 1－1＝0
即f(2ln a)＝a2－2aln a－10，
则f(x)还必恰有一个属于(ln a，2 ln a)的正根．
故01或A1时函数f(x)都是恰有两个零点．
综上：当a(－，0]{1}时，函数f(x)恰有一个零点x＝0，
当a(0，1)(1，＋)时函数f(x)恰有两个不同零点. (13分)
5．【解析】(1)当MNx轴时，MN的方程是x＝3(8)，
设M，y1(8)，N，－y1(8)w w w .x k b 1.c o m
由(OM)(ON)知|y1|＝3(8)，
即点3(8)在椭圆上，代入椭圆方程得b＝2.(3分)
(2)当lx轴时，由(1)知(OA)(OB)；
当l不与x轴垂直时，设l的方程是：y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0
则1＋k2(|m|)＝3(8)?3m2＝8(1＋k2)(5分)
＝1(y2)?(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0,
＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝3(32)(4k2＋1)0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)
则1＋2k2(2m2－8)，(7分)
x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
1＋2k2(（1＋k2）（2m2－8）)－1＋2k2(4k2m2)＋m2xkb1.com
＝1＋2k2(3m2－8（1＋k2）)＝0，即(OA)(OB).
即椭圆的内含圆x2＋y2＝3(8)的任意切线l交椭圆于点A、B时总有(OA)(OB).(9分)
(2)当lx轴时，易知|AB|＝23(8)＝3(6)(10分)
当l不与x轴垂直时，|AB|＝＝（1＋2k2）2(（4k2＋1）)
＝3(6)（1＋2k2）2(（1＋k2）（4k2＋1）)(12分)
设t＝1＋2k2[1，＋)，t(1)(0，1]
则|AB|＝3(6)2t2(2t2＋t－1)＝3(6)8(9)
所以当t(1)＝2(1)即k＝2(2)时|AB|取最大值2，
当t(1)＝1即k＝0时|AB|取最小值3(6)，
(或用导数求函数f(t)＝2t2(2t2＋t－1)，t[1，＋)的最大值与最小值)
综上|AB|3(6).(14分)
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