2015届福建省福州八县(市)一中高二上学期期末联考(数学)
1.命题 的否定是 ( )
A.
B.
C.
D.
2.设椭圆 的右焦点与抛物线 的焦点相同，离心率为 ，则此椭圆的方程为( )
A. ; B. ;C. ;D. .
3.ab是方程ax2+by2=c表示双曲线的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.焦点为(0, 6)，且与双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程是( )
A. B. C. D.
6.已知条件 ：x2+x-20，条件 ： ，若 是 的充分不必要条件，则 的取值范围可以是( )
A. B. C. D.
7.抛物线型拱桥，当水面距拱顶8 m时，水面宽24 m，若雨后水面上涨2 m，则此时的水面宽约为(以下数据供参考： 1.7, 1.4)( )
A.20.4 m B.10.2 m
C.12.8 m D.6.4 m
8.设F1和F2是双曲线 的两个焦点,点P在双曲线上,且满足F1PF2=90,则△F1PF2的面积是()
A.1? B. ? C.2? D.
9.已知 的值为( )
A. B. C. D.
10.过抛物线y=ax2(a0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则 等于()
A.2a? B. ? C.4a? D.
11已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点(-c，0)和(c，0)，若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是( )
12.已知点 是抛物线 上的一点，设点 到此抛物线的准线的距离为 ，到直线 的距离为 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
13. 椭圆 与直线 交于 ， 两点，过原点与线段 中点的直线的斜率为 ，则 ( )
A. B. C. D.
14我们把由半椭圆
合成的曲线称作果圆(其中 )。
如图，设点 是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2
是果圆与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的
等边三角，则a，b的值分别为 ( )
A. B. C.5，3 D.5，4
15设e1、e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率,P为两曲线的一个公共点,且满足 =0,则 的值为( )
A.1 B. C.2 D.不确定
A.e B.1
二填空题
13若椭圆 =1的离心率为 ，则实数m等于________
14①若xy=1,则x, y互为倒数的逆命题;②相似三角形的周长相等的否命题;③若a-1,则方程x2-2ax+a2+a=0有实根的逆否命题;④若AB=B，则A B的逆否命题。其中正确的命题是__________.(填上你认为正确的命题序号)
15若命题 xR, 使x2+ax+1是真命题，则实数a的取值范围为________
16过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 两点，若
则 的值为
17过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，求该双曲线离心率的范围。
解析：设双曲线的方程为 ， ，渐近线 ，则过 的直线方程为 ，则 ，
代入得 ，
即得 ，
，即得到 。
三.解答题
1. 已知：命题p：方程 有两个不等负实根; 命题q：不等式 的解集是R. 若p或 为真，p且 为假，求实数 的取值范围.
已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1),B(x2，y2)两点，则 的最小值是 32 .
解：显然 0，又 =4( )8 ，当且仅当 时取等号，所以所求的值为32。(注意联系均值不等式!)
已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点，离心率为 .
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)过椭圆C 的右焦点作直线 交椭圆C于 、 两点，交 轴于 点， 若 ， ，求证： .
19.(1)解：设椭圆C的方程为 ( )，1分
抛物线方程化为 ，其焦点为 ， 2分
则椭圆C的一个顶点为 ，即 3分
由 ， ，
所以椭圆C的标准方程为 6分
(2)证明：易求出椭圆C的右焦点 ， 7分
设 ，显然直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ，代入方程 并整理，
得 9分
， 10分
又， ， ， ， ，
而 ， ，
即 ，
， ， 12分
所以
16.已知双曲线 的右焦点为 ，左顶点为 ，
虚轴的两个端点分别为 ，若 在同一个圆上，
则双曲线的离心率等于 .
17.(本小题满分12分)已知p：方程 有两个不等的负实根;q：方程
无实根.若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围.
16.(本小题满分8分)设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得弦长|AB|=3 .
(1)求k的值;
(2)以弦AB为底边，x轴上的P点为顶点组成的三角形面积为39时，求点P的坐标.
解:(1)设A(x1,y1)、B(x2,y2),由 得4x2+4(k-1)x+k2=0,=16(k-1)2-16k20.
k .
又由韦达定理有x1+x2=1-k,x1x2= ,
|AB|=
= ,
即 .k=-4.
(2)设x轴上点P(x,0),P到AB的距离为d,则
d= ,
S△PBC= 3 =39，
|2x-4|=26.
x=15或x=-11.
P点为(15，0)或(-11，0).
17.已知命题 若非 是 的充分不必要条件，求 的取值范围。
17、解：
而 ，即
已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 与 轴相交于点 ，过 且倾斜角为 的直线与抛物线在 轴上方的部分相交于点 ， ，垂足为 ，则四边形 的面积等于
22.(本小题满分14分)
如图，设P为抛物线 上异于原点O的任意一点，F为抛物线的焦点，直线l：x=1交x轴于点A，过点P作直线l的垂线PM，垂足为M，作射线PO交直线l于点N。
(I)当p=1，|MF|=|MP|时，求点P的横坐标的值;
(II)是否存在p的值使得以MN为直径的圆恒过焦点F，若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由;
(III)证明：不论 取何值，当MFN最小时，点P的横坐标总是定值。
22.解：注意到图形的对称性不妨设
(I)(解法1)当P=1时，F(1，0)，
4分
(解法2)
(II)(解法1) 6分
因此存在p=1使得以MN为直径的圆恒过抛物线的焦点F。 9分
(解法2)当以MN为直径的圆过F点时，
9分
(解法3)当以MN为直径的圆过F点时，MFNF，
(III)证明：设 ， 10分
13分
当且仅当 取得最小值。
所以不论 为何值，当MFN最小时，P点的横坐标总是定值。 14分
平面直角坐标系中， 为坐标原点，给定两点A(1，0)、B(0，-2)，点C满足
、 .
(Ⅰ)求点C的轨迹方程;
(Ⅱ)设点C的轨迹与双曲线 交于M、N两点，且以MN为直径的圆过原点，求证 ;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若双曲线的离心率不大于 ，求双曲线实轴长的取值范围.
解：(Ⅰ)设 ,则
,
即点C的轨迹方程为 . 4分
(Ⅱ) 由题意 .
. 6分
.
,
. 9分
(Ⅲ) . .
.
双曲线实轴长的取值范围是 .
5、(2009咸宁市期末)已知A(-2，0)、B(2，0)，点C、点D满足
(1)求点D的轨迹方程;
(2)过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆与M、N两点，线段MN的中点到y轴的
距离为 ，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程。
解：
(1)设C、D点的坐标分别为C(x0，y0)，D(x，y)，则 =(x0+2，y0)， =(4，0)
则 (x0+6，y0)，故 2分
又 4分
代入 得x2+y2=1，即为所求点D的轨迹方程 6分
(2)易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k(x+2) ①
又设椭圆方程为 ②
因为直线l与圆x +y =1相切，故 ，解得k =
将①代入②整理得，
而k = 即
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2=
由题意有 求的a =8，经检验，此时△0.
故所求的椭圆方程为 13
22.(2005中科大附中模拟，22)已知双曲线C的中心在原点，抛物线y2=2 x的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线过点(1， ),
(1)求双曲线的方程;
(2)设直线l:y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，试问：
①k为何值时
②是否存在实数k，使A、B两点关于直线y=mx对称(m为常数)，若存在，求出k的值;若不存在，请说明理由.
解析：(1)由题意设双曲线方程为 =1，
把(1， )代入得 =1. (*)
又y2=2 x的焦点是( ，0)，故双曲线的c2=a2+b2= 与(*)联立，消去b2可得4a2-21a2+5=0,(4a2-1)(a2-5)=0.
a2= ,a2=5(不合题意舍去)
于是b2=1，双曲线方程为4x2-y2=1;
(2)由 消去y得
(4-k2)x2-2kx-2=0. (*)
当0 即-2
l与C有两个交点A、B,
①设A(x1，y1),B(x2，y2)，
因 ，故 =0即x1x2+y1y2=0，
由(*)知x1+x2= ,x1x2= ，
代入可得 +k2 +k +1=0,
化简得k2=2,k= ，检验符合条件，故当k= 时， .
②若存在实数k满足条件，则必须
由(ⅱ)(ⅲ)得m(x1+x2)=k(x1+x2)+2,
把x1+x2= 代入(ⅰ)得mk=4这与(ⅰ)的km=-1矛盾，故不存在实数k满足条件.
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点，离心率等于
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若
为定值
22.解：(I)设椭圆C的方程为 ，则由题意知b = 1.
椭圆C的方程为
(II)方法一：设A、B、M点的坐标分别为
易知F点的坐标为(2，0).
将A点坐标代入到椭圆方程中，得 去分母整理得
方法二：设A、B、M点的坐标分别为 又易知F点的坐标为(2，0). 显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是 将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得
又
9.P是双曲线 - =1(a0)右支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c,则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为( )
A.a B.b C.c D.a+b-c
解析：利用平面几何的知识及双曲线的定义易知：△PF1F2的内切圆与x轴的切点为双曲线的右顶点.
答案：A
已知椭圆 的左、右两个焦点为F1、F2,离心率为 ,又抛物线C2:y2=4mx(m0)与椭圆C1有公共焦点F2(1,0).
(1)求椭圆和抛物线的方程;
(2)设直线l经过椭圆的左焦点F1且与抛物线交于不同两点P、Q,且满足 ,求实数的取值范围.
解:(1)在椭圆中,c=1, ,
所以 ,
故椭圆方程为 .
抛物线中, ,所以p=2,
故抛物线方程为y2=4x.
(2)设直线l的方程为y=k(x+1)和抛物线方程联立,得
消去y,整理,得k2x2+(2k2-4)x+k2=0.
因为直线和抛物线有两个交点,
所以k0,(2k2-4)2-4k40.
解得-1
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
x1x2=1.
又 ,
所以
又y2=4x,
由此得4x1=24x2,即x1=2x2.
由x1x2=1,
解得x1=,x2= .
又 ,
所以 .
又因为0
所以 ,
解得0且1.
22.(本小题满分14分)
如图，已知 为椭圆 的左右两个顶点， 为椭圆的右焦点， 为椭圆上异于 点的任意一点，直线 分别交直线 于 点， 交 轴于C点.
(1) 当 时，求直线 的方程;
(2) 求证：当 时以 为直径的圆过F点;
(3) 对任意给定的 值，求 面积的最小值。