一. 教学内容：

　　圆的方程以及圆的有关性质

　　二、学习目标

　　1、通过图片欣赏探索确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中掌握圆的标准方程与一般方程。能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系;会利用直线方程和圆的方程解决简单的位置关系问题和度量问题;

　　2、经历具体图形探索，确定圆的几何要素的过程;经历用待定系数法求圆的方程的过程;在学习过程中体会用代数方法处理几何问题的思想;

　　3、体会转化、数形结合等数学思想和方法。

　　三、知识要点

　　1、圆的定义

　　①运动的观念：平面内一条线段绕着一个端点旋转，另一个端点形成的轨迹;

　　

 

　　其中，静止的端点叫做圆心，线段的长等于半径。

　　②集合的观念：平面内与定点的距离等于定长的点的集合。

　　其中定点叫做圆心，定长等于半径。

　　2、圆的方程

　　①标准形式：圆心为(a，b)，半径为r的圆的方程的标准形式是

　　( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2.

　　特别地，当圆心在原点的时候，其方程为 x 2 + y 2 = r 2.

　　②一般形式：x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0. (*)

　　上式可变形为：(x+)2+(y+)2=.

 

　　说明：(1)圆的一般方程体现了圆的方程的代数特点：

　　a. x2、y2项的系数相等且不为零.

　　b. 没有xy项.

　　(2)若D2 + E2- 4F > 0时，(*)式表示的是以为圆心，以为半径的圆;若D2 + E2- 4F = 0时，(*)式表示的是一个点;D2 + E2- 4F < 0时，(*)式不表示任何图形。

 

　　3、二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件

　　①A=C≠0，②B=0，③D2+E2-4AF>0.

　　4、点与圆的位置关系

　　设圆心为M，半径为R，对于点P

　　①|PM|=R：点P在圆上;

　　②|PM|

　　③|PM|>R：点P在圆外。

　　5、求曲线方程的两种方法

　　①直接法：在不明确曲线是何种曲线的情形下，根据条件，寻找或构造等量关系，列等式，代坐标，得方程。

　　一般步骤：建系——设点——列等式——代坐标——化简整理

　　②待定系数法：在明确曲线是何种曲线的情形下，可设出该类型曲线的一般情形，再由条件求出其中的参数即可。

　　四、点与典型例题

　　考点一 对圆的方程的讨论

　　例1 设方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0。(1)当m为何值时，该方程表示一个圆;(2)当m为何值时，该方程表示的圆的半径最大;(3)该方程表示圆时，求圆心的轨迹方程

　　解：①由二元二次方程表示圆的条件可知：D2 + E2- 4F > 0，代入可解得：

 

　　②由二元二次方程表示圆的条件可知：该圆的半径为，当时有最大值

 

　　③由二元二次方程表示圆的条件可知：该圆的圆心坐标为

 

　　故得圆心所在曲线方程为：

 

　　说明：对含有参变量的圆的方程的讨论是本课的一个重要题型，一定要结合二元二次方程表示圆的条件进行研究。

　　考点二 求圆的方程

　　例2 设A(-c，0)、B(c，0)(c>0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0)，求P点的轨迹.

　　解：设动点P的坐标为(x，y)，由=a(a>0)得=a，化简，得

 

　　(1-a2)x2+2c(1+a2)x+c2(1-a2)+(1-a2)y2=0.

　　当a=1时，方程化为x=0.

　　当a≠1时，方程化为(x-c)2+y2=()2.

 

　　所以当a=1时，点P的轨迹为y轴;

　　当a≠1时，点P的轨迹是以点(c，0)为圆心，||为半径的圆.

 

　　说明：本题采用了直接求法，即根据题给条件，寻找等量关系，然后代入坐标得到方程。主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求. 同时也考查了分类讨论这一数学思想.

　　例3 已知圆心在x轴上，半径是5，且以A(5，4)为中点的弦长是2，求这个圆的方程。

 

　　解：设圆心坐标为B(a，0)，以A为中点的弦的一个端点为C，则圆的方程为

　　(x-a)2+y2=25

　　由于|AB|2+|AC|2=|BC|2

　　从而，(a-5)2+16+5=25得a=7或a=3.

　　故这个圆的方程为

　　(x-7)2+y2=25或(x-3)2+y2=25

　　

 

　　说明：本题采用的是待定系数法，即设出圆的方程，其中含有一个参数a，根据题给条件求出即可。

　　考点三 对圆系方程的研究

　　例4 已知圆C经过圆的交点且经过原点，求圆C的方程。

 

　　解：设圆C的方程为，

 

　　因其过原点，故代入原点坐标得：，即圆C的方程为

 

　　说明：常见的圆系方程有：

　　①过定直线

两交点的圆系：

 

　　②过两定圆

交点的圆系：

 

　　五. 本讲涉及的主要数学思想方法

　　本讲涉及的主要数学思想方法是解析法，用代数的方法研究圆的有关性质，主要过程是建系——设点——列等式——代入坐标，要注意自变量的取值范围的讨论(如例1的第3小题)。

　　另外，平面解析几何问题的研究也蕴涵着丰富的数形结合的思想，要注意结合条件画图，结合图形分析几何元素间的联系以寻找变量之间的联系，从而迅速发现解题思路。

　　【模拟试题】(答题时间：60分钟)

　　一、选择题

　　1. (2008上海)如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域(含边界)，A、B、C、D是该圆的四等分点.若点、点满足且，则称P优于.如果中的点满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧(　　　)

 

　　

 

　　A. B. C. D.

 

　　2. (2008山东)已知圆的方程为. 设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )

 

　　A. 10　B. 20　　　　　　C. 30　　　　D. 40

 

　　3. (2008湖北)过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有( )

 

　　A. 16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条

　　*4. 点P(5a+1，12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部，则a的取值范围是( )

　　A. |a|<1 B. a<C. |a|<D. |a|<

 

　　*5. 已知圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，下列结论错误的是( )

　　A. 当a2+b2=r2时，圆必过原点

　　B. 当a=r时，圆与y轴相切

　　C. 当b=r时，圆与x轴相切

　　D. 当b

　　*6. 方程|x|-1=所表示的曲线是 ( )

 

　　A、一个圆 B、两个圆 C、半个圆 D、两个半圆

　　7. A=C≠0，B=0是方程Ax2+Bx+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的( )

　　A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

　　C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

　　二、填空题

　　8. (2008广东)经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是 .

 

　　9. (2008湖南)将圆沿x轴正向平移1个单位后得到圆C，则圆C的方程是________，若过点(3，0)的直线和圆C相切，则直线的斜率为_____________.

 

　　三、解答题

　　10. (2008重庆卷15题改编)已知圆C： (a为实数)上任意一点关于直线l：x-y+2=0的对称点都在圆C上，求a的值。

 

　　*11. 已知三角形三边所在直线的方程为x-y+2=0， x-3y+4=0， x+y-4=0，求三角形外接圆的方程。

　　12. 一圆经过A(4，2)，B(-1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程。

　　**13. (2008江苏)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.求：

 

　　(Ⅰ)实数b 的取值范围;

　　(Ⅱ)圆C 的方程;

　　(Ⅲ)圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)?请证明你的结论.

 

　　【试题答案】

　　一、选择题：DBCDD BB

　　4、提示：点P在圆(x-1)2+y2=1的内部(5a+1-1)2+(12a)2<1|a|<.

 

　　答案：D

　　5、提示：已知圆的圆心坐标为(a，b)，半径为r，当b

　　6、提示：两边平方后得

　　

 

　　二、填空题

　　8、

 

　　9、，

 

　　三、解答题

　　10、由题意知，圆C关于直线l：x-y+2=0对称，即圆心C在直线l：x-y+2=0上，从而解得a=-2。

 

　　11、分别联立三条直线方程，可求得三角形顶点坐标A(-1，1)、B(1，3)、C(2，2)。由圆的有关性质可知：圆心为AB、AC中垂线的交点，故可求得圆心坐标为：，恰为AC中点，从而这是一个直角三角形，其半径为线段AC长的一半，为，故三角形外接圆的方程为：

 

　　12、设圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0.

　　该圆过A(4，2)：20+4D+2E+F=0……………………(1)

　　过B(-1，3)：10-D+3E+F=0……………………………(2)

　　又该圆在坐标轴上的四个截距的和为2，故令x=0：y2+Ey+F=0，令y=0：x2+Dx+F=0，

　　由方程根与系数的关系：x1+x2+y1+y2=-E+(-D)=2，从而得到D+E=-2………(3)

　　联立方程(1)(2)(3)可解得：D=-2，E=0，F=-12，故圆的方程为：

　　x2 + y2 -2x-12 = 0.

　　13、【解析】本小题主要考查二次函数的图象与性质、圆的方程的求法.

　　(Ⅰ)令=0，得抛物线与轴的交点是(0，b);

 

　　令，由题意b≠0 且Δ>0，解得b<1 且b≠0.

 

　　(Ⅱ)设所求圆的一般方程为

 

　　令=0 得这与=0 是同一个方程，故D=2，F=.

 

　　令=0 得=0，此方程有一个根为b，代入得出E=―b―1.

 

　　所以圆C 的方程为.

 

　　(Ⅲ)圆C 必过定点(0，1)和(-2，1).

　　证明如下：将(0，1)代入圆C 的方程，得左边=0+1+2×0-(b+1)+b=0，右边=0，

 

　　所以圆C 必过定点(0，1).

　　同理可证圆C 必过定点(-2，1).