数列通项与数列求和
二. 教学要求：
掌握数列的通项公式的求法与数列前n 项和的求法。能通过转化的思想把非等差数列与非等比数列转化为两类基本数列来研究其通项与前n项的和。
三. 教学重点、难点：
重点：等差数列与等比数列的求和，及其通项公式的求法。
难点：转化的思想以及转化的途径。
四. 基本内容及基本方法
1、求数列通项公式的常用方法有：观察法、公式法、待定系数法、叠加法、叠乘法、Sn法、辅助数列法、归纳猜想法等;
(1)根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.
(2)由Sn求an时，用公式an=Sn-Sn-1要注意n≥2这个条件，a1应由a1=S1来确定，最后看二者能否统一.
(3)由递推公式求通项公式的常见形式有：an+1-an=f(n)，
2、数列的前n项和
(1)数列求和的常用方法有：公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序求和法等。
求数列的前n项和，一般有下列几种方法：
(2)等差数列的前n项和公式：
Sn= = .
(3)等比数列的前n项和公式：
①当q=1时，Sn= .
②当q≠1时，Sn= .
(4)倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加.主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和.
(5)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.
(6)裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列.
方法归纳：①求和的基本思想是“转化”。其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然数的方幂和，从而可用基本求和公式;其二是消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和。
②对通项中含有(-1)n的数列，求前n项和时，应注意讨论n的奇偶性。
③倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前n项和用到的方法，在复习中应给予重视。
【典型例题】
例1. 已知数列
证明：∵
假设存在某个
∴
例2. 在数列
例3. 已知下列两数列
(1)
例4. 设数列
解：设
例5. (天津文20)在数列
是等比数列;
(II)求数列
(I)证明：由题设
. 又
(II)解：由(Ⅰ)可知
. 所以数列
例6. 已知数列：1，
解：∵ an=1+
∴an=2-
则原数列可以表示为：
(2-1)，
前n项和Sn=(2-1)+
=2n-
=2n-
=
例7. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n.
(1)求证：{an}为等差数列;
(2)求S n的最小值及相应的n;
(3)记数列{
解：(1)n=1时，a1=S1=-8
n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-10
∴ an=2n-10 an+1-an=2
∴ {an}是等差数列.
(2)Sn=n2-9n=(n-
∴当n=4或n=5时，Sn有最小值-20.
(3)an=2n-10 ∴ | an |=| 2n-10 |
令an≥0
Tn=
Tn=-a1-a2-a3-a4+a5+a6+…+an
=(a1+a2+…+an)-(a1+a2+a3+a4)=Sn-2S4
=n2-9n-2×(-20)=n2-9n+40
∴ Tn=
例8. 求数列
数列
例9. 试求
例10. (1)求和
(2)已知通项
例11. 已知函数f(x)=(x-1)2，数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的等比数列(q≠1)，若a1=f(d-1)，a3=f(d+1)，b1=f(q-1)，b3=f(q+1)，
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}对任意的自然数n均有：
解：(1) a1=(d-2)2，a3=d2，a3-a1=2d
即d2-(d-2)2=2d，解之得d=2
∴a1=0，an=2(n-1)
又b1=(q-2)2，b3=q2，b3=b1q2
即q2=(q-2)2 q2，解之得q=3
∴b1=1，bn=3n-1
(2)
Sn=c1+c2+c3+…+cn
=4(1×30+2×31+3×32+…+n×3 n-1)
设
3
-2
∴Sn=2n·3n-3n+1
【模拟试题】
1. 数列
2.
3. 数列{
4. 已知数列
5. 设
6. 求数列1，
7. 数列
8. 一个数列的前
9. 数列
10. 求和：
11. 设
12. 已知
13. 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x)=(x-1)2，且a1 = f (d-1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q-1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。
【试题答案】
1.
2. 2076
3. 250
4.
5. 6
6. 解：
7.
8. 1
9.
10.
11.
12. 解：∵