教学内容：直线与平面平行的判定和性质

　　【基础知识精讲】

　　1.直线和平面的位置关系

　　一条直线和一个平面的位置关系有且只有如下三种关系：

　　(1)直线在平面内——直线上的所有点在平面内，根据公理1，如果直线上有两个点在平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内.

　　直线a在平面α内，记作aα.

 

　　(2)直线和平面相交——直线和平面有且只有一个公共点.

　　记作a∩α=A

　　(3)直线和平面平行——如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行.记作a∥α.

　　直线和平面相交或平行两种情况统称直线在平面外，记作aα.

 

　　2.直线和平面平行的判定

　　判定 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(简记“线线平行，则线面平行”)

　　即 a∥b,aα，bαa∥α

 

　　证明 直线和平面平行的方法有：

　　①依定义采用反证法

　　②利用线面平行的判定定理

　　③面面平行的性质定理也可证明

　　3.直线和平面平行的性质定理

　　性质 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(简记为“线面平行，线线平行”).

　　即 a∥α,aβ，α∩β=ba∥b.

 

　　这为证线线平行积累了方法：

　　①排除异面与相交 ②公理4 ③线面平行的性质定理

　　【重点难点解析】

　　本节重点是直线与平面的三种位置关系，直线和平面平行的判定和性质，难点是直线和平面平行的性质的应用.

　　例1 如图，ABCD和ABEF均为平行四边形，M为对角线AC上的一点，N为对角线FB上的一点，且有AM∶FN=AC∶BF，求证：MN∥平面CBE.

　　

 

　　分析：欲证MN∥平面CBE，当然还是需要证明MN平行于平面CBE内的一条直线才行.题目上所给的是线段成比例的关系，因此本题必须通过三角形相似，由比例关系的变通，才能达到“线线平行”到“线面平行”的转化.

　　证：连AN并延长交BE的延长线于P.

　　∵ BE∥AF，∴ ΔBNP∽ΔFNA.

　　∴ =，则=

.

 

　　即 =.

 

　　又 =，=，

 

　　∴ =.

 

　　∴ MN∥CP，CP平面CBE.

 

　　∴ MN∥平面CBE.

　　例2 一直线分别平行于两个相交平面，则这条直线与它们的交线平行.

　　已知：α∩β=a,l∥α,l∥β.求证：l∥a.

　　

 

　　分析：由线面平行推出线线平行，再由线线平行推出线面平行，反复应用线面平行的判定和性质.

　　证明：过l作平面交α于b.∵l∥α，由性质定理知l∥b.

　　过l作平面交β于c.∵l∥β，由性质定理知l∥c.

　　∴ b∥c，显然cβ.∴ b∥β.

 

　　又 bα，α∩β=a，∴ b∥a.

 

　　又 l∥b.

　　∴ l∥a.

　　评注：本题在证明过程中注意文字语言、符号语言，图形语言的转换和使用.

　　例3 如图，在正四棱锥S—ABCD中，P在SC上，Q在SB上，R在SD上，且SP∶PC=1∶2，SQ∶SB=2∶3，SR∶RD=2∶1.求证：SA∥平面PQR.

　　

 

　　分析：根据直线和平面平行的判定定理，必须在平面PQR内找一条直线与AS平行即可.

　　证：连AC、BD，设交于O，连SO，连RQ交SO于M，取SC中点N，连ON，那么ON∥SA.

　　∵==

 

　　∴RQ∥BD

　　∴=而=

 

　　∴=∴PM∥ON

 

　　∵SA∥ON.∴SA∥PM,PM平面PQR

 

　　∴ SA∥平面PQR.

　　评析：利用平几中的平行线截比例线段定理.

　　三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.

　　例4 证明：过平面上一点而与这平面的一条平行线平行的直线，在这平面上.

　　

 

　　证明 如图，设直线a∥平面α，点A∈α,A∈直线b,b∥a，欲证b

α.事实上，∵b∥a，可确定平面β，β与α有公共点A，∴α，B交于过A的直线c，∵a∥α,∴a∥c，从而在β上有三条直线，其中b、c均过点A且都与a平行.于是b、c重合，即bα.

 

　　【难题巧解点拨】

　　例1 S是空间四边形ABCD的对角线BD上任意一点，E、F分别在AD、CD上，且AE∶AD=CF∶CD，BE与AS相交于R，BF与SC相交于Q.求证：EF∥RQ.

　　

 

　　证 在ΔADC中，因AE∶AD=CF∶CD，故EF∥AC，而AC

平面ACS，故EF∥平面ACS.而RQ=平面ACS∩平面RQEF，故EF∥RQ(线面平行性质定理).

 

　　例2 已知正方体ABCD—A′B′C′D′中，面对角线AB′、BC′上分别有两点E、F且B′E=C′F求证：EF∥平面AC.

　　

 

　　分析 如图，欲证EF∥平面AC，可证与平面AC内的一条直线平行，也可以证明EF所在平面与平面AC平行.

　　证法1 过E、F分别做AB、BC的垂线EM、FN交AB、BC于M、N，连接MN

　　∵BB′⊥平面AC ∴ BB′⊥AB，BB′⊥BC

　　∴EM⊥AB，FN⊥BC

　　∴EM∥FN，∵AB′=BC′，B′E=C′F

　　∴AE=BF又∠B′AB=∠C′BC=45°

　　∴RtΔAME≌RtΔBNF

　　∴EM=FN

　　∴四边形MNFE是平行四边形

　　∴EF∥MN又MN平面AC

 

　　∴EF∥平面AC

　　证法2 过E作EG∥AB交BB′于G，连GF

　　∴=

 

　　∵B′E=C′F，B′A=C′B

　　∴=∴FG∥B′C′∥BC

 

　　又∵EG∩FG=G,AB∩BC=B

　　∴平面EFG∥平面AC

　　又EF平面EFG

 

　　∴EF∥平面AC

　　例3 如图，四边形EFGH为四面体A—BCD的一个截面，若截面为平行四边形，求证：(1)AB∥平面EFGH;(2)CD∥平面EFGH

　　

 

　　证明：(1)∵EFGH为平行四边形，∴EF∥HG，　　∵HG

平面ABD，∴EF∥平面ABD.　　∵EF平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB.

 

　　∴EF∥AB，∴AB∥平面EFGH.

　　(2)同理可证：CD∥EH，∴CD∥平面EFGH.

　　评析：由线线平行线面平行线线平行.

 

　　【课本难题解答】

　　1.求证：如果两条平行线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交.

　　已知：a∥b,a∩α=A，求证：b和α相交.

　　

 

　　证明：假设bα或b∥α.

 

　　若bα，∵b∥a，∴a∥α.

 

　　这与a∩α=A矛盾，∴bα不成立.

 

　　若b∥α，设过a、b的平面与α交于c.

　　∵b∥α,∴b∥c,又a∥b ∴a∥c

　　∴a∥α这与a∩α=A矛盾.∴b∥α不成立.

　　∴b与α相交.

　　2.求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.

　　已知：a∥b,aα，bβ，α∩β=c.

 

　　求证：c∥a∥b

　　

 

　　

 

　　【命题趋势分析】

　　本节主要掌握直线和平面的位置关系的判定，直线与平面平行的证明与应用，它是高考中常考的内容，难度适中，因此学习好本节内容至关重要.

　　【典型热点考题】

　　例1 在下列命题中，真命题是( )

　　A.若直线m、n都平行平面α，则m∥n;

　　B.设α—l—β是直二面角，若直线m⊥l，则m⊥n，m⊥β;

　　C.若直线m、n在平面α内的射影是一个点和一条直线，且m⊥n，则n在α内或n与α平行;

　　D.设m、n是异面直线，若m和平面α平行，则n与α相交.

　　解 对于直线的平行有传递性，而两直线与平面的平行没有传递性故A不正确;平面与平面垂直可得出线面垂直，要一直线在一平面内且垂直于交线，而B中m不一定在α内，故不正确;对D来说存在平面同时和两异面直线平行，故不正确;应选C.

　　例2 设a、b是两条异面直线，在下列命题中正确的是( )

　　A.有且仅有一条直线与a、b都垂直

　　B.有一平面与a、b都垂直

　　C.过直线a有且仅有一平面与b平行

　　D.过空间中任一点必可作一条直线与a、b都相交

　　解 因为与异面直线a、b的公垂线平行的直线有无数条，所以A不对;若有平面与a、b都垂直，则a∥b不可能，所以B不对.若空间的一点与直线a(或b)确定的平面与另一条直线b(或a)平行，则过点与a相交的直线必在这个平面内，它不可能再与另一条直线相交，所以D不对，故选C.

　　例3 三个平面两两相交得三条交线，若有两条相交，则第三条必过交点;若有两条平行，则第三条必与之平行.

　　已知：α∩β=a,α∩=b, ∩α=c.

 

　　求证：要么a、b、c三线共点，要么a∥b∥c.

　　

 

　　证明：①如图一，设a∩b=A，

　　∵α∩β=a.

　　∴aα而A∈a.

 

　　∴A∈α.

　　又β∩=b

 

　　∴b,而A∈b.

 

　　∴A∈

.　　则A∈α，A∈，那么A在α、的交线c上.

 

　　从而a、b、c三线共点.

　　②如图二，若a∥b，显然c，b

 

　　∴ a∥

 

　　而 aα, α∩=c.

 

　　∴ a∥c

　　从而 a∥b∥c

 

　　【同步达纲练习】

　　一、选择题

　　1.如果直线a平行于平面α，直线b∥a，点A∈α，A∈b,则b与α的位置关系是( )

　　A.b∥α B.b∥α

　　C.b∥α或bα D.b∩α=A

 

　　2.如果AB、BC、CD是不在同一平面内的线段，那么经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是( )

　　A.平行 B.相交

　　C.AC在平面内 D.以上都有可能

　　3.平面内一点与平面外一点的连线和这个平面内的直线的关系是( )

　　A.异面 B.相交

　　C.异面或平行 D.异面或相交

　　4.若AB、BC、CD是不在同一平面内的三线段，它们的中点分别是P、Q、R，且PQ=2，QR=，PR=3，则AC与BD所成角为( )

 

　　A.60° B.30° C.90° D.120°

　　5.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )

　　A.α内的所有直线都与直线a异面

　　B.α内不存在与a平行的直线

　　C.α内的直线都与a相交

　　D.直线a与平面α有公共点

　　6.直线a∥平面α，P∈α，过点P且平行于a的直线( )

　　A.只有一条，不在平面α内 B.有无数条，不一定在α内

　　C.只有一条，且在平面α内 D.有无数条，一定在α内

　　7.下列判断正确的是( )

　　A.a∥α,bα，则a∥b B.a∩α=P,bα，则a与b不平行

 

　　C.aα，则a∥α D.a∥α,b∥α,则a∥b

 

　　8.若α∩β=a,l∩α=M,l∩β=n，则a和1( )

　　A.异面 B.可平行

　　C.相交，平行 D.异面，平行

　　9.若a∥b,b∥α，则( )

　　A.a∥α B.a∩α=A

　　C.a与α不相交 D.以上都不对

　　10.直线和平面平行，那么这条直线和这个平面内的( )

　　A.一条直线不相交 B.两条相交直线不相交

　　C.无数条直线不相交 D.任意一条直线都不相交

　　二、填空题

　　1.过平面外一点作一平面的平行线有 条.

　　2.若a∥平面α，b∥平面α，那么a,b的位置关系是 .

　　3.A、B、C、D四个点不在同一平面内，到这四点距离都相等的平面有 个.

　　4.已知直线a∥b，直线a∥α，则b与α的位置关系是( )

　　三、解答题

　　1.四面体A—BCD，被一平面所截，截面EFGH是一个矩形.

　　(1)求证：CD∥平面EFGH.

　　(2)求异面直线AB、CD所成的角.

　　2.已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底面ABCD的中心.

　　求证：OC1∥平面AB1D1

　　【素质优化训练】

　　1.如图，设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1.

　　

 

　　求：(1)A点到CD1的距离.

　　(2)A到BD1的距离.

　　(3)A点到面BDD1B1的距离.

　　(4)A点到面A1BD的距离.

　　(5)AA1到面BB1D1D的距离.

　　2.已知：空间四边形ABCD，E、F分别为AB、AD的中点.

　　求证：EF∥平面BDC.

　　3.已知：a∥平面α，P∈α，P∈b,且a∥b.

　　求证：bα.

 

　　4.用平行于四面体ABCD的一组对棱AC和BD的平面截此四面体得一四边形MNPQ.如图：

　　

 

　　(1)求证：MNPQ是平行四边形.

　　(2)若AC=BD，能截得菱形吗?如何截?

　　(3)在什么情况下，可以截得一个矩形?

　　(4)在什么情况下，能截得一个正方形吗?如何截?

　　(5)若AC=BD=a，求证：平行四边形MNPQ的周长一定.

　　(6)若AC=a，BD=b，AC和BD所成的角为θ，求平行四边形MNPQ面积的最大值，此时如何截取?

　　【生活实际运用】

　　教室内，日光灯管所示直线与地面平行，若想在地面上作出一条直线与灯管所示直线平行，该怎样作出?

　　提示：只需由灯管两头和地面引两条平行线，两条相交线与地面的交点连线就是与灯管平行的直线.

　　【知识验证实验】

　　一根长为a的木梁，它的两端悬挂在两条互相平行的，长度都为b的绳索下，木梁处于水平位置，如果把木梁绕通过它的中点的铅垂轴转动一个角度φ，那么木梁升高多少?

　　

 

　　提示 设M、N为悬挂点，AB为木梁的初始位置，那么AB=a，MA∥NB，MA=NB=b,∠A=∠B=90°.

　　设S为中点，L为过S的铅垂轴，那么L

平面MANB，木梁绕L转动角度φ后位于CD位置，T为CD中点，那么木梁上升的高度为异面直线AB与CD之间的距离ST.

 

　　在平面MANB中，作TK∥AB，交MA于K，则AK=ST.

　　设ST=x，则x=b-KM.又KT=CT=，∠KTC=φ，有KC=asin.

 

　　从而KM=

.

 

　　∴x=b-

.

 

　　【知识探究学习】

　　三棱锥O—ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，底面ABC上有一点P到各侧面的距离分别为2cm、3cm、6cm，求点P到棱锥顶点O的距离.

　　

 

　　提示：如图，经过补形.

　　OP==7cm.

 

　　参考答案

　　【同步达纲练习】

　　一、1.B 2.A 3.D 4.C 5.B 6.D 7.B 8.A 9.C 10.D

　　二、1.无数 2.平行、相交、异面 3.7 4.b∥α或bα.

 

　　三、1.(1)略 (2)90°

　　2.设正方形A1B1C1D1的中心为O1，证明AO1∥OC1即可.

　　【素质优化训练】

　　1.(1)(2)(3)(4)(5)

 

　　2.略

　　3.证：在α内取一点A(A异于P).∵a∥α.∴Aa，∴a、A确定平面β，设α∩β=a′，则a∥a′，又a∥b,∴a′∥b.

 

　　若bα，则由于b∩α=P，且Pa′.∵a′α.

 

　　∴b与a′为异面直线，这与a′∥b矛盾.∴bα.

 

　　4.(1)略 (2)当M为AB中点时 (3)当AC⊥BD (4)当AC=BD，AC⊥BD，且M为AB中点. (5)2a (6)设MQ=x,PQ=y,=.S□=absinθ≤absinθ，Q为AD中点时取等号.