一. 教学内容：
异面直线所成角及距离
二. 重点、难点：
1. 异面直线所成角定义。
异面直线 、 ，过空间一点O作 、 ，直线 ， 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 和 所成的角。
2. 异面直线所成角的计算。
(1)平移其中一条或两条使其相交。
(2)连接端点，使角在一个三角形中。
(3)计算三条边长，用余弦定理计算余弦值。
(4)若余弦值为负，则取其相反数。
3. 公垂线。
与两条异面直线均垂直、相交的直线叫两条异面直线的公垂线，两条异面直线的公垂线有且只有一条。
4. 两条直线垂直。
(1)相交垂直 (2)异面垂直
5.
6. 两条异面直线的公垂线段的长度，叫两条异面直线的距离。
【典型例题】
异面直线所成的角与距离：
[例1] 正方体 棱长为 ，对角线 长为 。
① 异面直线 与 所成的角。
② 异面直线 与 的距离。
③ 异面直线 与 所成的角。
④ 异面直线 与 所成的角。
⑤ M、N为 、 中点，MN与AC所成角。
⑥ H为BC中点， 与 所成角。
解：
① ∴ 与 所成锐角即为两条异面直线所成的角 。
② AB为两条异面直线的公垂线 ∴ 距离为
③ 为等边三角形 ∴ 成角为
④ 延长DC至E使CE=CD
中， ， ， 中，DE= ，AD=
∴ AE ，由余弦定理
⑤ MN//BD ∴ 所成角为
⑥ F为AD中点， ， 中， ，
，
∴ ∴ 所成角为
[例2] 四面体ABCD，棱长均为 (正四面体)
① 求异面直线AD、BC的距离。
② 求AC、BD所成的角。
③ E、F为BC、AD中点，求AE、CF所成角。
解：
① E、F为BC、AD中点，连AE、DE、BF、CF
中， F为等腰 底边中点 ∴ EF⊥AD
同上EF⊥BC ∴ E、F为AD、BC公垂线
∴
② H为CD中点
EH//BD EH= FH//AC 为两条异面直线AC、BD所成角
∴
③ K为DE中点，连FK，FK//AE CF与FK所夹锐角为异面直线AE、CF所成角
∴
[例3] 正方体 中，E、F为AB、 中点，求 、 所成的角。
证：H在 上， M为 中点
∴
∴ HF与 所成角等于异面直线 、 所成的角
设棱长为
中， ∴ 、 所成角为
[例4] P为 所在平面外一点，E为PA中点，且 ， ， ， ( )。求异面直线BE、PC的距离。
解：F为PC中点连EF
EF为PC、BE公垂线
∴ BE、PC距离为
【模拟试题】(答题时间：60分钟)
1. ， 、 与 、 均垂直，则 、 的关系为( )
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上均可能
2. 已知异面直线 、 成 角，P为空间一点，则过P且与 、 所成角均为 的直线有( )
A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 无数条
3. 空间直线 满足(1)与 异面;(2)与 成 角;(3)与 距离为10cm;则这样的 有( )
A. 1条 B. 2条 C. 4条 D. 无数条
4. 、 为异面直线， 为 、 的公垂线， ， 与 、 的关系为( )
A. 均不相交 B. 与其中一条相交
C. 至少与一条相交 D. 至多与其中一条相交
5. 空间四边形ABCD棱长为 ，对角线也为 ，E为AD中点，AB与CE所成角为( )
A. B. C. D.
【试题答案】
1. D 2. B 3. D 4. D 5. C