一、选择题
1.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于( )
A.1 B.2
C.3 D.4
[答案] D
[解析] y′=[(x+1)2]′(x-1)+(x+1)2(x-1)′
=2(x+1)•(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1，
∴y′|x=1=4.
2.若对任意x∈R，f′(x)=4x3，f(1)=-1，则f(x)=( )
A.x4 B.x4-2
C.4x3-5 D.x4+2
[答案] B
[解析] ∵f′(x)=4x3.∴f(x)=x4+c，又f(1)=-1
∴1+c=-1，∴c=-2，∴f(x)=x4-2.
3.设函数f(x)=xm+ax的导数为f′(x)=2x+1，则数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和是( )
A.nn+1 B.n+2n+1
C.nn-1 D.n+1n
[答案] A
[解析] ∵f(x)=xm+ax的导数为f′(x)=2x+1，
∴m=2，a=1，∴f(x)=x2+x，
即f(n)=n2+n=n(n+1)，
∴数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和为：
Sn=11×2+12×3+13×4+…+1n(n+1)
=1-12+12-13+…+1n-1n+1
=1-1n+1=nn+1，
故选A.
4.二次函数y=f(x)的图象过原点，且它的导函数y=f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y=f(x)的图象的顶点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
[答案] C
[解析] 由题意可设f(x)=ax2+bx，f′(x)=2ax+b，由于f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)=ax+b2a2-b24a，
顶点-b2a，-b24a在第三象限，故选C.
5.函数y=(2+x3)2的导数为( )
A.6x5+12x2 B.4+2x3
C.2(2+x3)2 D.2(2+x3)•3x
[答案] A
[解析] ∵y=(2+x3)2=4+4x3+x6，
∴y′=6x5+12x2.
6.(2010•江西文，4)若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2，则f′(-1)=( )
A.-1 B.-2
C.2 D.0
[答案] B
[解析] 本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f′(x)=4ax3+2bx，f′(-1)=-4a-2b=-(4a+2b)，f′(1)=4a+2b，∴f′(-1)=-f′(1)=-2
要善于观察，故选B.
7.设函数f(x)=(1-2x3)10，则f′(1)=( )
A.0 B.-1
C.-60 D.60
[答案] D
[解析] ∵f′(x)=10(1-2x3)9(1-2x3)′=10(1-2x3)9•(-6x2)=-60x2(1-2x3)9，∴f′(1)=60.
8.函数y=sin2x-cos2x的导数是( )
A.22cos2x-π4 B.cos2x-sin2x
C.sin2x+cos2x D.22cos2x+π4
[答案] A
[解析] y′=(sin2x-cos2x)′=(sin2x)′-(cos2x)′
=2cos2x+2sin2x=22cos2x-π4.
9.(2010•高二潍坊检测)已知曲线y=x24-3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )
A.3 B.2
C.1 D.12
[答案] A
[解析] 由f′(x)=x2-3x=12得x=3.
10.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为( )
A.-15 B.0
C.15 D.5
[答案] B
[解析] 由题设可知f(x+5)=f(x)
∴f′(x+5)=f′(x)，∴f′(5)=f′(0)
又f(-x)=f(x)，∴f′(-x)(-1)=f′(x)
即f′(-x)=-f′(x)，∴f′(0)=0
故f′(5)=f′(0)=0.故应选B.
二、填空题
11.若f(x)=x，φ(x)=1+sin2x，则f[φ(x)]=_______，φ[f(x)]=________.
[答案] 2sinx+π4，1+sin2x
[解析] f[φ(x)]=1+sin2x=(sinx+cosx)2
=|sinx+cosx|=2sinx+π4.
φ[f(x)]=1+sin2x.
12.设函数f(x)=cos(3x+φ)(0<φ<π)，若f(x)+f′(x)是奇函数，则φ=________.
[答案] π6
[解析] f′(x)=-3sin(3x+φ)，
f(x)+f′(x)=cos(3x+φ)-3sin(3x+φ)
=2sin3x+φ+5π6.
若f(x)+f′(x)为奇函数，则f(0)+f′(0)=0，
即0=2sinφ+5π6，∴φ+5π6=kπ(k∈Z).
又∵φ∈(0，π)，∴φ=π6.
13.函数y=(1+2x2)8的导数为________.
[答案] 32x(1+2x2)7
[解析] 令u=1+2x2，则y=u8，
∴y′x=y′u•u′x=8u7•4x=8(1+2x2)7•4x
=32x(1+2x2)7.
14.函数y=x1+x2的导数为________.
[答案] (1+2x2)1+x21+x2
[解析] y′=(x1+x2)′=x′1+x2+x(1+x2)′=1+x2+x21+x2=(1+2x2)1+x21+x2.
三、解答题
15.求下列函数的导数：
(1)y=xsin2x; (2)y=ln(x+1+x2);
(3)y=ex+1ex-1; (4)y=x+cosxx+sinx.
[解析] (1)y′=(x)′sin2x+x(sin2x)′
=sin2x+x•2sinx•(sinx)′=sin2x+xsin2x.
(2)y′=1x+1+x2•(x+1+x2)′
=1x+1+x2(1+x1+x2)=11+x2 .
(3)y′=(ex+1)′(ex-1)-(ex+1)(ex-1)′(ex-1)2=-2ex(ex-1)2 .
(4)y′=(x+cosx)′(x+sinx)-(x+cosx)(x+sinx)′(x+sinx)2
=(1-sinx)(x+sinx)-(x+cosx)(1+cosx)(x+sinx)2
=-xcosx-xsinx+sinx-cosx-1(x+sinx)2.
16.求下列函数的导数：
(1)y=cos2(x2-x); (2)y=cosx•sin3x;
(3)y=xloga(x2+x-1); (4)y=log2x-1x+1.
[解析] (1)y′=[cos2(x2-x)]′
=2cos(x2-x)[cos(x2-x)]′
=2cos(x2-x)[-sin(x2-x)](x2-x)′
=2cos(x2-x)[-sin(x2-x)](2x-1)
=(1-2x)sin2(x2-x).
(2)y′=(cosx•sin3x)′=(cosx)′sin3x+cosx(sin3x)′
=-sinxsin3x+3cosxcos3x=3cosxcos3x-sinxsin3x.
(3)y′=loga(x2+x-1)+x•1x2+x-1logae(x2+x-1)′=loga(x2+x-1)+2x2+xx2+x-1logae.
(4)y′=x+1x-1x-1x+1′log2e=x+1x-1log2ex+1-x+1(x+1)2
=2log2ex2-1.
17.设f(x)=2sinx1+x2，如果f′(x)=2(1+x2)2•g(x)，求g(x).
[解析] ∵f′(x)=2cosx(1+x2)-2sinx•2x(1+x2)2
=2(1+x2)2[(1+x2)cosx-2x•sinx]，
又f′(x)=2(1+x2)2•g(x).
∴g(x)=(1+x2)cosx-2xsinx.
18.求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)
(1)y=f1x;(2)y=f(x2+1).
[解析] (1)解法1：设y=f(u)，u=1x，则y′x=y′u•u′x=f′(u)•-1x2=-1x2f′1x.
解法2：y′=f1x′=f′1x•1x′=-1x2f′1x.
(2)解法1：设y=f(u)，u=v，v=x2+1，