一. 教学内容：

　　向量的运算

　　二. 学习目标

　　1. 进一步理解向量的有关概念;

　　2. 掌握向量的线性运算，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义.

　　3. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示以及相关应用.

　　三. 知识要点

　　1、向量的有关概念

　　①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：。向量的大小即向量的模(长度)，记作||。

　　②零向量：长度为0的向量，记，其方向是任意的，与任意向量平行。

 

　　③单位向量：模为1个单位长度的向量。

　　④平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。

　　⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为。

 

　　2、向量加法

　　求两个向量的和的运算叫做向量的加法。设，则+==。向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。

 

　　说明：(1);

 

　　(2)向量加法满足交换律与结合律;

　　

 

　　3、向量的减法

　　①相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。记作，零向量的相反向量仍是零向量。

 

　　关于相反向量有： (i)=;

 

　　(ii) +()=()+=;

 

　　(iii)若、是互为相反向量，则=，=，+=。

 

　　②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

 

　　

 

　　的作图法：可以表示为从的终点

 

　　指向的终点的向量(、有共同起点)。

 

　　注：(1)用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

　　(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

　　4、实数与向量的积

　　实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：

 

　　(Ⅰ);

 

　　(Ⅱ)当时，λ的方向与的方向相同;当时，λ的方向与的方向相反;当时，，方向是任意的。

 

　　注：

　　结合律：λ(μ)=(λμ)

 

　　(λ+μ)=λ+μ

 

　　分配律：λ(+)=λ+λ

 

　　5、平行向量基本定理：如果a=λb，则a∥b;反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a=λb

　　6、平面向量的基本定理

　　如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数

使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

 

　　7、特别注意：

　　(1)向量的加法与减法是互逆运算。

　　(2)相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。

　　(3)向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)，而向量平行则包括共线(重合)的情况。

　　(4)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。

　　8、单位向量：给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫作向量a的单位向量.

　　9、基向量，轴上向量的坐标

　　在轴l上取单位向量e，使e的方向与l同方向，对轴上任意向量a，一定存在唯一实数x，使a=xe，x叫做a在l上的坐标.当a与e同方向时，x是正数， 当a与e反方向时， x是负数;

　　e叫做轴l的基向量.a叫轴l的轴上向量.

　　小结：实数与轴上的向量建立起一一对应关系.于是可用数值表示向量.

　　10、轴上两个向量相等的条件

　　轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等;

　　轴上两个向量和的坐标等于两个向量坐标的和.

　　11、公式(1) AB+BC=AC

　　公式(2) AB=x2-x1(轴上向量坐标公式)即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标

　　公式(3) |AB|=|x2-x1|

　　12、平面向量的坐标运算

　　(1)若，则

 

　　(2)若，则

 

　　(3)若=(x，y)，则=(x， y)

 

　　(4)若，则

 

　　【典型例题】

　　例1. 判断下列说法是否正确，并说明理由。

　　①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上;

 

　　②单位向量都相等;

　　③任一向量与它的相反向量不相等;

　　④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是=

 

　　⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件;

　　⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

　　⑦若，，则;

 

　　⑧若，，则

 

　　⑨若四边形ABCD是平行四边形，则

 

　　解：①不正确。共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.

 

　　②不正确。单位向量的模均相等且为1，但方向并不确定.

　　③不正确。零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.

　　④、⑤正确。

　　⑥不正确.如图与共线，

 

　　虽起点不同，但其终点却相同.

　　

 

　　⑦正确，向量相等有传递性

　　⑧不正确，因若，则不共线的向量也有，。

 

　　⑨ 不正确， 如图

 

　　评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须掌握好.

　　例2. 计算下列各式：

　　(1);

 

　　(2);

 

　　(3)

.

 

　　解：;

 

　　;

 

　　

 

　　例3. 已知向量，，且，求实数的值。

 

　　解：因为，

 

　　所以，

 

　　又因为

 

　　所以，即

 

　　解得

 

　　例4. 已知A(-2，1)，B(1，3)求线段AB的中点M和三等分点P，Q的坐标

　　解：(1) 求中点M的坐标，利用公式可知M(，2)

 

　　(2) 因为=-　　=(1，3)-(-2，1)　=(3，2)

　=+= (-2，1)+1/3(3，2)=(1，)　

　=+　　= (-2，1)+ 2/3(3，2)　　= (0，)　

　所以P(-1，5/3)，Q(0，)

 

　　例5. 如图，已知ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于F。求证：AF=AE。

　　证明：建立如图所示的直角坐标系，设正方形的边长为1，则A、B的坐标分别为(-1，-1)和(0，-1)，设E点的坐标为(x，y)，则，

 

　　

 

　　∵，

 

　　∴……①，

 

　　又，

 

　　故……②，

 

　由①②得E点的坐标为，

 

　　设F(，-1)则=(，-1)，

 

　　由与共线得，

 

　　∴=即F(，-1)，

 

　　所以，，

 

　　∴

 

　　即AF=AE

　　主要数学思想方法

　　1、通过平面向量基本定理得出的过程，体会由特殊到一般的方法，培养“数”与“形”相互转化的思想方法。

　　2、向量是沟通代数、几何、三角函数的工具，掌握向量的解题技巧，方法显得非常重要.向量的解题方法有向量法和坐标法，要理解相关的意义和了解其实际背景.应该把几何的直观性和向量的运算有机地结合在一起.运算和运算律是向量的灵魂，是连接数与形的纽带，

　　3、做好解题后的反思，总结解题规律，从而培养理性的、条理的思维习惯，形成对通性通法的归纳意识.

　　【模拟试题】(答题时间：45分钟)

　　一、选择题

　　1、设A、B、C、D四点坐标依次是(-1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD为( )

　　A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形

　　2、向量a，b都是非零向量，下面说法不正确的是( )

　　A.向量a与b反向，则向量a+b与向量a的方向可能相同

　　B.向量a与b反向，则向量a+b与向量b的方向可能相同

　　C.向量a与b反向，且，则向量a+b与向量a的方向可能相同

 

　　D.向量a与b反向，且，则向量a+b与向量a的方向可能相同

 

　　*3、已知平面上直线的方向向量=()，点和在上的射影分别是和，则=，其中等于

　　A.B.-C.2 D.-2

 

　　4、已知向量与的夹角为，则等于( )

 

　　A. 5 B. 4 C. 3 D. 1

　　**5、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(-1，3)，若点C满足，其中且，则点C的轨迹方程为()

 

　　

 

　　

 

　

 

　　

 

　　二、填空题

　　6、在直角坐标系xOy中，已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB中点的坐标为____________.

　　7、已知，为原点，若，则的值为____________.

 

　　8、平面内给定三个向量，则满足的实数m，n为____________.

 

　　三、解答题

　　9、如图，平行四边形AOBD的对角线OD，AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC=3BM，线段CD上有一点N满足CD=3CN，设

 

　　

 

　　**10、(1)设两个非零向量、不共线，如果　， 求证：三点共线.

 

　　(2)设、是两个不共线的向量，已知，若三点共线，求的值.

 

　　11、如图，在△ABC中，设=，=，=， =λ，(0<λ<1)，=μ(0<μ<1)，试用向量，表示

 

　　

 

　　

 

　　【试题答案】

　　1、解析：=(1，2)，=(1，2)，∴=，∴∥，

 

　　又线段AB与线段DC无公共点，∴AB∥DC且|AB|=|DC|，

　　∴ABCD是平行四边形，又|=，=(5，3)，||=，

 

　　∴||≠||，∴四边形ABCD不是菱形，更不是正方形;

 

　　又=(4，1)，∴14+21=6≠0，∴不垂直于，

 

　　∴四边形ABCD也不是矩形，故选D。

　　答案：D

　　2、D

　　3、D

　　4、B

　　5、解、设，则

 

　　由得

 

　　于是

 

　　先消去，由得

 

　　再消去得。所以选D

 

　　6、解：设M(x，y)是线段AB的中点，则=(+)　= 1/2[(x1，y1)+(x2，y2)]

　　即 x=

 

　　y=

 

　　7、解：

 

　　

 

　　8、解：由题意得

 

　　所以，得

 

　　9、解：

.

 

　　

 

　　10、(1)证明：因为

 

　　所以

 

　　又因为

 

　　得

 

　　即

 

　　又因为公共点为

 

　　所以三点共线;

 

　　(2)解：

 

　　

 

　　因为三点共线

 

　　所以

 

　　设

 

　　所以

即;

 

　　11、解：∵与共线，∴=m=m(-)=m(μ-)，

 

　　∴=+=+m(μ-)=(1-m) +mμ①

 

　　又与共线，∴=n=n(-)=n(λ-)，

 

　　∴=+=+n(λ-)=nλ+(1-n) ②

 

　　由①②，得(1-m)+μm=λn+(1-n) 　与不共线，∴

③

 

解方程组③得m=

 

　　代入①式得=(1-m) +mμ=[λ(1-μ) +μ(1-λ)]