数学必修4——三角函数的图像与性质

　　一. 教学内容： 三角函数的图像与性质

　　二. 教学目标：

　　了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A、ω、φ的物理意义。

　　三. 知识要点：

　　1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

　　

 

　　

 

　　

 

　　2. 三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是;的递增区间是，递减区间是的递增区间是，

　　3. 函数最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是;其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。

　　4. 由y=sinx的图象变换出y=sin(ωx+)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活地进行图象变换。

　　利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

　　途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

　　先将y=sinx的图象向左(>0)或向右(<0=平移||个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0)，便得到y=sin(ωx+)的图象。

　　途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

　　先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0)，再沿x轴向左(>0)或向右(<0，平移个单位，便得到y=sin(ωx+)的图象。

　　5. 对称轴与对称中心的对称轴为，对称中心为;的对称轴为，对称中心为;对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系。

　　6. 五点法作y=Asin(ωx+)的简图：

五点法是设X=ωx+，由X取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。

　　【典型例题】

　　例1. 把函数y=cos(x+)的图象向左平移个单位，所得的函数为偶函数，则的最小值是( )

　　A.B.C.D.

　　解：先写出向左平移4个单位后的解析式，再利用偶函数的性质求解。

　　向左平移个单位后的解析式为y=cos(x++)则cos(-x++)=cos(x++)，cosxcos(+)+sinxsin(+)=cosxcos(+)-sinxsin(+)

　　∴sinxsin(+)=0，x∈R.

　　∴+=kπ，∴=kπ->0

　　∴k>，∴k=2，∴=

　　答案：B

　　例2. 试述如何由y=sin(2x+)的图象得到y=sinx的图象。

　　解：y=sin(2x+)

 

　　另法答案：

　　(1)先将y=sin(2x+)的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象;

　　(2)再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，得y=sinx的图象;

　　(3)再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变)，即可得到y=sinx的图象。

　　例3. 求函数y=sin4x+2sinxcosx-cos4x的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间。

　　解：y=sin4x+2sinxcosx-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+sin2x=sin2x-cos2x=2sin(2x-).

　　故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;单调递增区间是[0，]，[，π]

　　点评：把三角函数式化简为y=Asin(ωx+)+k(ω>0)是解决周期、最值、单调区间问题的常用方法。

　　例4. 已知电流I与时间t的关系式为。

　　(1)下图是(ω>0，)

　　在一个周期内的图象，根据图中数据求

的解析式;

　　(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少?

 

　　

 

　　解：本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力。

　　(1)由图可知 A=300

　　设t1=-，t2=

则周期T=2(t2-t1)=2(+)=

　　∴ω==150π

　　将点代入

　　∴=

　　故所求的解析式为

　　(2)依题意，周期T≤，即≤，(ω>0)

　　∴ω≥300π>942，又ω∈N*

　　故最小正整数ω=943.

　　点评：本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言.其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。

　　【模拟试题】

　　1. 在(0，2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围是( )

　　A. (，)∪(π，) B. (，π)

　　C. (，) D. (，π)∪(，)

　　2. 如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π=的最小正周期是T，且当x=2时取得最大值，那么( )

　　A. T=2，θ=B. T=1，θ=π C. T=2，θ=π D. T=1，θ=

　　3. 设函数f(x)=A+Bsinx，若B<0时，f(x)的最大值是，最小值是-，则A=_______，B=_______。

　　4. 已知函数y=tan(2x+)的图象过点(，0)，则可以是( )

　　A. -B.C. -D.

　　5. 函数y=sin(-2x)+sin2x的最小正周期是( )

　　A. 2π B. π C.D. 4π

　　6. 若f(x)sinx是周期为π的奇函数，则f(x)可以是( )

　　A. sinx B. cosx C. sin2x D. cos2x

　　7. 函数y=2sin(-2x)(x∈[0，π])为增函数的区间是( )

　　A. [0，] B. [，]

　　C. [，] D. [，π]

　　8. 把y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数__________的图象;再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数__________的图象。

　　9. 函数y=lg(cosx-sinx)的定义域是_______.

　　10. f(x)=2cos2x+sin2x+a(a为实常数)在区间[0，]上的最小值为-4，那么a的值等于( )

　　A. 4 B. -6 C. -4 D. -3

　　【试题答案】

　　1. 答案：C

　　2. 解析：T=

=2，又当x=2时，sin(π·2+θ)=sin(2π+θ)=sinθ，要使上式取得最大值，可取θ=。

　　答案：A

　　3. 解析：根据题意，由可得结论

　　答案：-1

　　4. 解析：将(，0)代入原函数可得，tan(+)=0，再将A、B、C、D代入检验即可。

　　答案：A

　　5. 解析：y=cos2x-sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=sin(+2x)，T=π.

　　答案：B

　　6. 答案：B

　　7. 解析：对于y=2sin(-2x)=-2sin(2x-)，其增区间可由y=2sin(2x-)的减区间得到，即2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z。

　　∴kπ+≤x≤kπ+，k∈Z.令k=0，故选C.

　　答案：C

　　8. 解析：向左平移个单位，即以x+代x，得到函数y=sin(x+)，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以x代x，得到函数：y=sin(x+)。

　　答案：y=sin(x+) y=sin(x+)

　　9. 解析：由cosx-sinx>0cosx>sinx.由图象观察，知2kπ-(k∈Z)

　　答案：2kπ-(k∈Z)

　　10. 解析：f(x)=1+cos2x+

sin2x+a=2sin(2x+)+a+1.

　　∵x∈[0，]，∴2x+∈[，].

　　∴f(x)的最小值为2×(-)+a+1=-4

　　∴a=-4.