广东七校2015届高三数学上学期第一次联考试题（理）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
1设集合A={ }，则满足A B={0，1，2}的集合B的个数是( )
A 1 B 3 C 4 D 6
2. 为虚数单位，复平面内表示复数z=(1+ )(2+ )的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 是函数 的最小正周期为 的( )
.必要不充分条件 . 充分不必要条件
.充要条件 .既不充分也不必要条件
4.右图是一容量为 的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为( )
A. B. C. D.
5.执行上图所示的程序框图，则输出的结果是( )
A. B. C. D.
6、由曲线 围成的封闭图形的面积为( )
A. B. C. D.
7. 已知 是坐标原点，点 ，若 为平面区域
上的一个动点，则 的取值范围是( )
A B C D
8.对于集合 ，如果定义了一种运算 ，使得集合 中的元素间满足下列4个条件：
(ⅰ) ，都有 ;
(ⅱ) ，使得对 ，都有 ;
(ⅲ) ， ，使得 ;
(ⅳ) ，都有 ，
则称集合 对于运算 构成对称集.下面给出三个集合及相应的运算 ：
① ，运算 为普通加法;② ，运算 为普通减法;
③ ，运算 为普通乘法.其中可以构成对称集的有( )
A①② B①③ C②③ D①②③
二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分
(一)必做题(9～13题)
9. 若 是奇函数，则实数 =_________。
10.在△ 中，角 的对边分别为 ，且 ， .
则角 的大小为
11.已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如右图所示.
若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为__________.
12.各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则.一考生从某大学所给的 个专业中，选择 个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有 种。
13.若实数a、b、c成等差数列，点P(1, 0)在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点
N(0, 3)，则线段MN长度的最小值是
(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分)
14、(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 与 的公共点到极点的距离为__________
15、如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O
于B，弦MN过CD的中点P.已知AC=4，AB=6，则MPNP= .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.(本题满分12分)
已知函数 ( )的图象过点 .
(1)求 的值;
(2)设 ， 求 的值.
17. (本小题满分12分)2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为中国制造，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣。甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量(单位：毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号12345
x169178166175180
y7580777081
(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量;
(2)当产品中的微量元素x,y满足x175，且y75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数 的分布列及其均值(即数学期望)。
18. (本小题满分14分)
如图6，四棱柱 的底面 是平行四边形，且 ， ， ， 为 的中点， 平面 .⑴证明：平面 平面 ;
⑵若 ，试求异面直线 与
所成角的余弦值.
19 .(本小题满分14分)
已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求
(2) 求数列 的通项;
(3) 若 , ，求证：
20. (本小题满分14分)
已知圆C与两圆 ， 外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点 的距离的最小值为 ，点 与点 的距离为 .
(Ⅰ)求圆C的圆心轨迹L的方程;
(Ⅱ)求满足条件 的点 的轨迹Q的方程;
(Ⅲ)试探究轨迹Q上是否存在点 ，使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 。若存在，请求出点B的坐标;若不存在，请说明理由。
21. (本小题满分14分)
2015届高三摸底考
理科数学答案2014.8
一、选择题：
1 C2.A3. B4. C 5. C 6、D7. A 8.B
二、填空题： 9. ，10 11. 12.180 13.
14、 15、
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.解：(1)依题意得 ， ，2分
∵ 4分
， 5分
(2)∵ ，7分
又∵ ，9分
∵ ，
， ，10分
12分
17. (本小题满分12分)
解：(1)乙厂生产的产品总数为 ;.2分
(2)样品中优等品的频率为 ，乙厂生产的优等品的数量为 ;4分
(3) ， ..5分
，.8分
的分布列为
012
.11分
均值 .12分
⒙(本小题满分14分)
⑴依题意， 1分，所以 是正三角形， 2分，又 3分，
所以 ， 4分，因为 平面 ， 平面 ，所以 5分，因为 ，所以 平面 6分，
因为 平面 ，所以平面 平面 7分.
⑵取 的中点 ，连接 、 8分，连接 ，则 9分，所以 是异面直线 与 所成的角10分。
因为 ， ，所以 11分，
， 12分，
所以 14分(列式计算各1分).
(方法二)以 为原点，过 且垂直于 的直线为 轴， 所在直线为 轴、 所在直线为 建立右手系空间直角坐标系1分，
设 ( )，则 ， ， ， 3分.
⑴设平面 的一个法向量为 ，则 4分，
，取 ，则 ，从而 5分，
同理可得平面 的一个法向量为 7分，
直接计算知 ，所以平面 平面 8分.
⑵由 即 9分，
解得 10分。
11分，
12分，
所以异面直线 与 所成角的余弦值 14分.
注：由于给分板按方法一设置，即第⑴问7分，第⑵问7分。若学生按方法二答题，得分 时，得分记在第⑴问;得分 的部分，记在第⑵问。
19解：(1)令 ，得 ， 2分
(2)又 ①
有 ②3分
②-①得 4分
6分
8分
(3)n=1时 =1 符合9分
时，因为 ,11分
所以
.13分
14分
第二问方法不唯一，请酌情给分
20.(本小题满分14分)
解：(1) ，1分
椭圆 的方程为 .3分
20.(本小题满分14分)
解析：(Ⅰ)两圆半径都为1，两圆心分别为 、 ，由题意得 ，可知圆心C的轨迹是线段 的垂直平分线， 的中点为 ，直线 的斜率等于零，故圆心C的轨迹是线段 的垂直平分线方程为 ，即圆C的圆心轨迹L的方程为 。(4分)
(Ⅱ)因为 ，所以 到直线 的距离与到点 的距离相等，故点 的轨迹Q是以 为准线，点 为焦点，顶点在原点的抛物线， ，即 ，所以，轨迹Q的方程是 (8分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)得 ， ，所以过点B的切线的斜率为 ，切线方程为 ，令 得 ，令 得 ，
因为点B在 上，所以
故 ，
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
设 ，即 得 ，所以
当 时， ，当 时， ，
所以点B的坐标为 或 . (14分)
第二问答案中更正：方程有两个不等实根，第二问也可二次求导，请酌情给分。
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