广东七校2015届高三数学上学期第一次联考试题（文）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分为150分，考试用时为120分钟.
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知全集 ，集合 ， ，则 等于( )
A. B. C. D.
2、已知 为虚数单位，复数 的模 ( )
A. 1 B. C. D.3
3、在等差数列 中，已知 ，则 ( )
A. 7 B. 8C. 9D. 10
4、设 是两个非零向量，则 是 夹角为锐角的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5、在魅力咸阳中学生歌手大赛比赛现场上七位评委为某选手打
出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，
所剩数据的平均数和方差分别为( )
A.5和1.6 B.85和1.6 C. 85和0.4 D. 5和0.4
6、如果直线 与平面 满足： 那么必有( )
A. B. C. D.
7、如图所示，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)
和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该
几何体体积为( )
A. B. C. D.
8、定义运算 为：两个实数 的 运 算原理如图所示，
若输人 ， 则输出 ( )
A.-2 B.0 C、2 D.4
9、在长为12 厘米的线段 上任取一点 ，现作一矩形,邻边长分别等
于线段 的长,则该矩形面积大于20平方厘米的概率为( )
A. B. C. D.
10、如图， 是函数 图像上一点，曲线
在点 处的切线交 轴于点 ， 轴，垂足为
若 的面积为 ，则 与 满足关系式( )
A. B. C. D.
第II卷(非选择题，共100分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，其中14～15题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第14小题计分.
11.函数 ，则 ___
12. 若目标函数 在约束条件 下仅在点 处取得最小值，则实数 的取值范围是 .
13. 已知 ， ，且 ，则 .
14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中圆 的圆心到直线 的距离是
15.(几何证明选讲)如图，点B在⊙O上， M为直径AC上一点，BM的
延长线交⊙O于N， ，若⊙O的半径为 ，OA= OM ，
则MN的长为
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本题满分12分)已知向量 ， ，设函数 .
(Ⅰ)求函数 单调增区间;
(Ⅱ)若 ，求函数 的最值，并指出 取得最值时 的取值.
17、(本题满分12分)某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：
节能意识弱节能意识强总计
20至50岁45954
大于50岁103646
总计5545100
(1)由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关?
(2)若全小区节能意识强的人共有350人，则估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人?
(3)按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再是这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率。
18、(本题满分14分)如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形，点O是对角线 与 的交点, 是 的中点, .
(1)求证： 平面 ; (2)平面 平面
(3)当四棱锥 的体积等于 时,求 的长.
19、(本题满分14分)已知等差数列 的公差为 , 且 ,
(1)求数列 的通项公式 与前 项和 ;
(2)将数列 的前 项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列 的前3项,记 的前 项和为 , 若存在 , 使对任意 总有 恒成立, 求实数 的取值范围
20、(本题满分14分)已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线交于 两点，且直线与 轴交于点
(1)求证： 成等比数列;
(2)设 ， ，试问 是否为定值，若是，求出此定值;若不是，请说明理由.
21、(本题满分14分)设函数 ( )， .
(1) 若函数 图象上的点到直线 距离的最小值为 ，求 的值;
(2) 关于 的不等式 的解集中的整数恰有3个，求实数 的取值范围;
(3) 对于函数 与 定义域上的任意实数 ，若存在常数 ，使得 和 都成立，则称直线 为函数 与 的分界线.设 ， ，试探究 与 是否存在分界线?若存在，求出分界线的方程;若不存在，请说明理由.
2015届七校联考文科数学答案
ACDBB ABADCB 11. 12. 13. 14、1 15、2
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(12分)解：(Ⅰ)
2分
当 ， Z， 3分
即 ， Z，
即 ， Z时，函数 单调递增， 5分
所以，函数 的单调递增区间是 ，( Z); 6分
(Ⅱ)当 时， ， ， 8分
当 时，原函数取得最小值0，此时 ， 10分
当 时，原函数取得最大值 ，此时 . 12分
17、(12分)解(1)因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强， 与 相差较大， 所以节能意识强弱与年龄有关3分
(2)年龄大于50岁的有 (人)6分(列式2分，结果1分)
(3)抽取节能意识强的5人中,年龄在20至50岁的有 人7分
年龄大于50岁的有4人8分
记这5人分别为 ,从这5人中任取2人,所有可能情况有10种,列举如下
10分
设 表示事件这5人中任取2人，恰有1人年龄在20岁至50岁，则 中的基本事件有
共4种11分
故所求概率为 12分
18、(14分)解:(1) 在 中， 、 分别是 、 的中点,
是 的中位线， ， 1分
面 ， 面 3分
面 4分
(2) 底面 是菱形， ，5分
面 ， 面 ，
6分
面 ， 面 ， ，7分
面 8分
面 ，9分
面 面 10分
(3)因为底面 是菱形， ，所以 11分
四棱锥 的高为 ， ，得 12分
面 ， 面 ， 13分
在 中, . 14分
19、(14分)解：(1) 由 得 ，所以
， 从而 ----------------------------6分
(2)由题意知 设等比数列 的公比为 ，则 ，
随 递减， 为递增数列，得
又 ， 故 ，
若存在 , 使对任意 总有 则 ，得 -------14分
20.(14分) 解：(1)证明：设直线的方程为： ，
联立方程可得 得 ①
设 ， ， ，则 ，②
，
而 ， ，
即 成等比数列.
(2)由 ，得
， ，
即得： ，则
由(1)中②代入得 ，故 为定值且定值为-1.
21. (14分)解：(1)因为 ，所以 ，令
得： ，此时 ， 2分
则点 到直线 的距离为 ，
即 ，解之得 . 4分
(2)解法一：不等式 的解集中的整数恰有3个，
等价于 恰有三个整数解，故 ，6分
令 ，由 且 ，
所以函数 的一个零点在区间 ，
则另一个零点一定在区间 ， 8分
故 解之得 . 10分
解法二： 恰有三个整数解，故 ，即 ，6分
，
所以 ，又因为 ， 8分
所以 ，解之得 . 10分
(3)设 ，则 .
所以当 时， ;当 时， .
因此 时， 取得最小值 ，
则 与 的图象在 处有公共点 . 12分
设 与 存在 分界线，方程为 ，
即 ，
由 在 恒成立，则 在 恒成立 .
所以 成立， 因此 .
下面证明 恒成立.
设 ，则 .
所以当 时， ;当 时， .
因此 时 取得最大值 ，则 成立.
故所求分界线方程为： . 14分
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