广雅中学2014-2015高三数学10月月考试卷（理）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
【注意事项】
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.选择题的答案一律做在答题卡上，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 , ,则
A. B. C. D.
2.若复数 ， ，则
A. B. C. D.
3.下列函数中，在区间 上为增函数的是
A. B. C. D.
4. 已知 ，则
A. B. C. D.
5.设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面,下列命题中错误的是
A. 若 , , ,则 B.若 , , ,则
C.若 , ,则 D.若 , , ,则
6.巳知双曲线 的中心在坐标原点，实轴在 轴上，离心率为 ，且 上一点到 的两个焦点的距离之差为12，则双曲线 的方程为
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系 上的区域 由不等式组 给定.若 为 上的动点，点 的坐标为 ，则 的最大值为
A. B. C. D.3
8.若 是一个集合， 是一个以 的某些子集为元素的集合，且满足：① 属于 ， 属于 ;② 中任意多个元素的并集属于 ;③ 中任意多个元素的交集属于 .则称 是集合 上的一个拓扑.已知集合 ，对于下面给出的四个集合 ：
① ;
② ;
③ ;
④ .
其中是集合 上的拓扑的集合 的序号是
A. ① B. ② C. ②③ D. ②④
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.
(一)必做题(9～13题)
9. 计算 .
10.函数 的单调递增区间是 .
11.执行如图所示的程序框图,若输入 的值为 ,则输出 的值为
______.
12.曲线 过点 的切线方程为 .
13.某同学为研究函数
的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形 和 ，
点 是边 上的一个动点，设 ，则 . 请
你参考这些信息，推知函数 的值域是 .
(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中，曲线 的参数方程为 为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的方程为 ，则曲线 和 交点的直角坐标为_________ .
15. (几何证明选讲选做题)如图所示，圆 的直径 ，
为圆周上一点， ，过 作圆的切线 ，过 作 的
垂线 ，垂足为 ，则线段 的长为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数 ( , , )的图象与 轴的交点为 ，它在 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为
和 .
(1)求函数 的解析式;
(2)若锐角 满足 ，求 的值.
17.(本小题满分12分)
每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.
(1) 求某两人选择同一套餐的概率;
(2) 若用随机变量 表示某两人所获优惠金额的总和，求 的分布列和数学期望.
18.(本小题满分14分)
如图，在四棱柱 中，侧面 底面 ， ，底面 为直角梯形，其中 ， ，
为 中点.
(1)求证： 平面
(2)求锐二面角 的余弦值.
19.(本小题满分14分)
已知数列 满足 ，
(1)设 试用 表示 (即求数列 的通项公式);
(2)求使得数列 递增的所有 的值.
20.(本题满分14分)
已知椭圆 经过点 ，且椭圆的离心率 .
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆的右焦点 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点 及 ，设线段 ， 的中点分别为 .求证：直线 恒过一个定点.
21. (本题满分14分)
已知函数 .
(1)若函数 在定义域内为增函数，求实数 的取值范围;
(2)在(1)的条件下，且 ， ， ，求 的极小值;
(3)设 ( )，若函数 存在两个零点 ，且满足 ，问：函数 在 处的切线能否平行于 轴?若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.
广东广雅中学20142015学年度上学期高三10月月考
数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.
题号12345678
答案A C AADBCD
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.
9. 10. (或 ) 11. 15 12. 13. 14. 15.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.
1.A.【解析】易得 , ,所以 ,故选A.
2.C.【解析】
3.A.【解析】B、C为减函数，D为双钩函数，双钩函数在 上先减后增.
4.A.解析： ，即 ，
5.D.解析】ABC是正确命题,选D.
6.B.【解析】 ， ， ， ，则所求双曲线方程为 .
7.C.作出可行域 ，由图像知，当点 的坐标为 或 时， 的最大值为 .
8.D. 解析：①不是拓扑，因为 ， ，但 ;②是拓扑，可以逐一验证三条性质都满足;③不是拓扑，因为全集 ;④是拓扑，可以逐一验证三条性质也都满足.
二、填空题：
9. .解：
10.【解析】 . ，即 ， ，即 .
11. 15.解析：第一次循环后: ;第二次循环后: ;
第三次循环后: ;第四次循环后: ;故输出15.
12. ，解析：设切点为 ，则切线为 ，把 代入上式，得 ，故切线方程为
13. 解析：根据图形可知，当 时(点P在BC中间)， ，当 或 时(点P在B点或C点)， ， 的值域是 .
14. .考查极坐标方程. ，联立方程很快得出结果
15. .解：在 中， ，故 ，故 ，
.由 是圆 的切线知， ，故 ， .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. 解：(1)由题意可得 ， 即 ， 3分
， 由 且 ，得 5分
函数 . 6分
(2)由于 ，即 且 为锐角，所以 8分
10分
.即 的值为 12分
17. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过分布列的计算，考查学生的数据处理能力.
解：(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为
. 4分
(2) 由题意知某两人可获得优惠金额 的可能取值为400，500，600，700，800，1000.
，
，
， 8分
综上可得 的分布列为：
4005006007008001000
10分
.
即 的数学期望为775. 12分
18.(1)证明：如图，连接 ，则四边形 为正方形，所以 ，且 ，2分
故四边形 为平行四边形，所以 .4分
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 . 6分
(2)因为 为 的中点，所以 ，又侧面 底面 ，交线为 ，故 底面 。 7分
以 为原点，所 在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的坐标系， 则 ，
，8分
设 为平面 的一个法向量，由 ，得 ，
令 ，则 . 10分
又设 为平面 的一个法向量，由 ，得 ，令 ，
则 ， 12分
则 ，
故所求锐二面角 的余弦值为 . 14分
注：第2问用几何法做的酌情给分.
19.解：(1) 1分
即 变形得， 3分
若 ，则 4分
若 ，则数列 是以 为首项的，
为公比的等比数列5分
故 ，因而， ; 6分
(2)法一： 7分
为奇数时， ，令 ， 8分
得 ，即 对所有的正奇数恒成立，9分
因为 对 单调递减，所以 ，即 。10分
为偶数时， ，令 ， 11分
得 ，即 对所有的正偶数恒成立，12分
因为 对 单调递减，所以 ，即 。13分
综上， 时，数列 递增。 14分
法二：由(1)知 ，
从而 ，7分
故 ， 8分
设 ，则 ，下面说明 ，9分
讨论：
若 ，则A0,此时对充分大的偶数n， ，有 ，这与 递增的要求不符; 11分
若 ，则A0,此时对充分大的奇数n， ，有 ，这与 ，递增的要求不符; 13分
若 ，则A=0， ，始终有 。综上， 。14分
注意：直接研究通项，只要言之成理也相应给分。
20.解：(1)由 ，得 ，
即 ，即 . 1分
由椭圆过点 知， . 2分
联立(1)、(2)式解得 。 3分
故椭圆的方程是 . 4分
(2)直线 恒过一个定点 . 5分
证明 椭圆的右焦点为 ，分两种情况.
1当直线 的斜率不存在时， : ，则 : .由椭圆的通径易得 ，又 ，此时直线 恒过一个定点 ; 6分
2当直线 的斜率存在时，设 : ，则 ： .
又设点 .
联立方程组
消去 并化简得 ， 8分
所以 .
.
. 10分
由题知，直线 的斜率为 ，同理可得点 .11分
.
， 12分
即 .
令 ，解得 .
故直线 恒过一个定点 ; 13分
综上可知，直线 恒过一个定点 . 14分
21.(本题满分14分)
解：(1)
由题意，知 恒成立，即 . 2分
又 ，当且仅当 时等号成立.
故 ，所以 . 4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， 令 ，则 ，则
5分
由 ，得 或 (舍去)， ，
①若 ，则 单调递减; 在 也单调递减;
②若 ，则 单调递增. 在 也单调递增;
故 的极小值为 . 8分
(3)法一：设 在 的切线平行于 轴，其中 结合题意， ,相减得 ，即 . 9分
,又 ,
所以
设 ， 11分
设 ，
所以函数 在 上单调递增，
因此， ，即 也就是， ， 13分
所以 无解.
所以 在 处的切线不能平行于 轴. 14分
法二：
分析：即证是否存在 使 ，因为 时 单调递减，且 ，所以即证是否存在 使 。即证否存在 使 。
证明： .
的变化如下：
↗↘
即 在 单调递增，在 单调递减。又 且
所以 。 10分
构造函数 ，其中
即
，当且仅当 时 ，
故 在 单调增，所以 。 12分
所以 时， 。又 ，所以 ，
所以 。 13分
因为 ，所以根据 的单调性知 ，即 。
又 在 单调递减，所以 .
即函数 在 处的切线不能平行于 轴。 14分
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