2014届高三数学上册理科第一次月考试题
数学(理)试题
第Ⅰ卷 (选择题共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
⒈ 设 ( 是虚数单位)，则 ( )
A. B. C. D.
⒉ 已知向量 ， ，则 是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
⒊ 若双曲线 的离心率为2，则 等于( )
A. B. C. D.
⒋ 甲、乙两位歌手在中国好声音选拔赛中，5位评委评分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为 、 ，则下列判断正确的是( )
A. ，甲比乙成绩稳定
B. ，乙比甲成绩稳定
C. ，甲比乙成绩稳定
D. ，乙比甲成绩稳定
⒌ 等差数列 中的 、 是函数 的极值点，则 ( )
A. B. C. D.
⒍ 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的直径
为2，则该几何体的体积为( )
A. B.
C. D.
⒎ 已知函数 ，其导函数 的部分图像如图所示，则函数 的解析式为( )
A. B.
C. D.
⒏ 设变量 满足 ，若直线 经过该可行域，则 的最大值为( )
A. B. C. D.
⒐ 已知偶函数 满足 ，且在区间 上单调递增.不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
10. 定义在 上的奇函数 ，满足 ， ，则函数 在区间 内零点个数的情况为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D.至少 个
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡的相应位置.
11.已知 ，则 的展开式中的常数项是 (用数字作答).
12. 执行如图所示的程序框图，输出结果S的值为 .
13.抛物线 上点 处的切线方程是 .
14. 已知曲线 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 ( 为参数). 、 分别是曲线 和直线 上的任意一点，则 的最小值为 .
15. 已知函数 ，给出下列五个说法：
① ;②若 ，则 ;③ 在区间 上单调递增; ④将函数 的图象向右平移 个单位可得到 的图象;⑤ 的图象关于点 成中心对称.其中正确说法的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 解答写在答题卡上的指定区域内.
16.(本小题满分12分)
在△ABC中，已知 ,其中 、 、 分别为 的内角 、 、 所对的边.求：
(Ⅰ)求角 的大小;
(Ⅱ)求满足不等式 的角 的取值范围.
17.(本小题满分12分)
如图，在三棱锥 中， ， ， ，设顶点 在底面 上的射影为 .
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)设点 在棱 上，且 ，试求二面角
的余弦值.
18.(本小题满分12分)
已知函数 ， .
(Ⅰ)求 的极值;
(Ⅱ)当 时，若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围;
19.(本小题满分12分)
甲、乙两人进行围棋比赛，规定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一方比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的 概率为 ，且各局胜负相互独立.已知第 二局比赛结束时比赛停止的 概率为 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)设 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量 的分布列和数学期望
20.(本小题满分13分)
数列 的前 项和为 ， .
(Ⅰ)设 ，证明：数列 是等比数列;
(Ⅱ)求数列 的前 项和 ;
(Ⅲ)若 ， ，求不超过 的最大的整数值.
21.(本小题满分14分)
已知椭圆 ： 的离心率为 ，直线 : 与以原点为圆心、以椭圆 的短半轴长为半径的圆相切.
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)设椭圆 的左焦点为 ，右焦点 ，直线 过点 且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直 于点 ，线段 垂直平分线交 于点 ，求点 的轨迹 的方程;
(Ⅲ)设 与 轴交于点 ，不同的两点 在 上，且满足 ，求 的取值范围.
安徽省望江中学2014届 第一次月考
数学(理)试题答案
⒈【解析】因为 ，所以 ，选C.
⒉【解析】因为 ，所以选A.
⒊【解析】由 知 ，而 ，解得 ，选D.
⒍【解析】由三视图可知，该几何体是有长方体里面挖了一个半圆柱体，可知，长方体的长为4，宽为3，高为2，那么圆柱体的高位3，底面的半径为1，则可知该几何体的体积为 ，故答案为C.
⒎【答案】B.
⒏【解析】直线 过定点 ，作可行域如右图所示，当定 点和B点连接时，斜率最大，此时 ，选A;
⒐【解析】因为偶函数 在区间 上是增函数且 ，所 以 可化为 ，则有 ，解得 的取值范围是 ，选B.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
题号⒒⒓⒔⒕⒖
答案 2 ①④
，则令 ，解得 ，从而常数项为 ;
⒔【解析】由 得 ，则 ，则在点 处的切线斜率为 ，所以切线方程为 ，即 .
⒕【解析】曲线 的直角坐标方程为 ，而直线 的普通方程为 ，曲线 与直线 平行，则 .
⒖【解析】 .①正确， ;②错误：由 ，知 或 ;③错误：令 ，得 ，由复合函数性质知 在每一个闭区间 上单调递增，但 ，故函数 在 上不是单调函数;④错误：将函数 的图象向右平移 个单位可得到 ;⑤错误：函数的对称中心的横坐标满足 ，解得 ，即对称中心坐标为 ，则点 不是其对称中心.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
⒘ (本小题满分12分)
证明：(Ⅰ)方法一：由 平面 ，得 ，
又 ，则 平面 ，
故 ， 3分
同理可得 ，则 为矩形，
又 ，则 为正方形，故 . 5分
方法二：由已知可得 ，设 为 的中点，则 ，则 平面 ，故平面 平面 ，则顶点 在底面 上的射影 必在 ，故 .
(Ⅱ)方法一:由(I)的证明过程知 平面 ，过 作 ，垂足为 ，则易证得 ，故 即为二面角 的平面角， 8分
由已知可得 ，则 ，故 ，则 ，
又 ，则 ， 10分
故 ，即二面角 的余弦值为 12分
方法二: 由(I)的证明过程知 为正方形，如图建立坐标系，
则 ， ， ，可得 ，8分
则 ， ，易知平面
的一个法向量为 ，设平面 的 一个法向量为 ，则由 得 10分
则 ，即二面角 的余弦值为 . 12分
⒙(本小题满分12分)
【解析】(Ⅰ)函数 的定义域为 。 1分
，令 得 3分
当 为增函数; 4分
当 为减函数， 5分
可知 有极大值为 6分
(Ⅱ)由于 ,所以立不等式 在区间 上恒成立，即 在 上恒成立，
设
由(Ⅰ)知， 在 处取得最大值 ， 12分
【参考题】(Ⅲ)已知 且 ，求证： .
∵ ，由上可知 在 上单调递增，
，即 ①，
同理 ②
两式相加得 ，
(Ⅱ)依题意知X的所有可能取值为2,4,6。6分
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 ，若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有
，
，
，9分
则随机变量的分布列为
X246
P
故 .12分
⒛(本小题满分13分)
【解析】(Ⅰ)因为 ，
所以 ① 当 时， ，则 ，1分
② 当 时， ，2分
所以 ，即 ，
所以 ，而 ，3分
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 .4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 .
所以 ① ，
② ，6分
②-①得： ，7分
.9分
(Ⅲ)由(1)知 10分
，12分
所以
，
故不超过 的最大整数为 .13分
21.(本小题满分14分)
【解析】(Ⅰ)∵
∵直线 相切，
3分
∵椭圆 的方程是 6分
(Ⅱ)∵ ，
动点 到定直线 ： 的距离等于它到定点 的距离，
动点 的轨迹是 为 准线， 为焦点的抛物线 6分
点 的轨迹 的方程为 9分
(Ⅲ) ，设 、
∵ ，
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