一、选择题 (每小题5分,共60分)
1.设全集 ,集合 , ,则 = ( )
A. B. C. D.
2.已知 ,则 =()
A. B. C. D.
3.某市有高中生30000人,其中女生4000人,为调查学生的学习情况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本,则样本中女生的数量为( )
A.30 B. 25 C. 20 D. 15
4.在 中,内角 的对边分别为 ,若 , , ,则这样的三角形有( )
A.0个 B. 两个 C. 一个 D. 至多一个
5.某班设计了一个八边形的班徽(如图),它由腰长为1,顶角为 的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成,则该八边形的面积为( )
A. B.
C. D.
6.设点 是线段 的中点,点 在直线 外, , ,则 =( )
A.8 B.4 C.2 D.1
7.已知数列 中, , ,若 为等差数列,则 =( )
A.0 B. C. D.2
8.若 , R,且 ,则下列不等式中恒成立的是( )
A. B. C. D.
9.若函数 ,则 ( )
A.最大值为1,最小值为 B.最大值为1,无最小值
C.最小值为 ,无最大值 D.既无最大值也无最小值
10.在椭圆 上有两个动点 . 为定点, ,则 的最小值为()
A.6 B. C.9 D.
11.边长为 的正方形 沿对角线 折成 的二面角,则 的长为( )
A. B. C. D.
12.已知抛物线 的焦点 为双曲线 的一个焦点,经过两曲线交点的直线恰过点 ,则该双曲线的离心率为()
A. B.1+ C. D.1+
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.已知 R,有以下命题:①若 ,则 ;②若 ,则 ;
③若 ,则 .则正确命题序号为 。
14. 直线 被曲线 所截得的弦长为______.
15. 两枚质地均匀的骰子同时掷一次,则向上的点数之和不小于7的概率为 .
16.若 在区间 上是增函数,则 的范围是 .(用区间来表示)
三.解答题(本大题共70分,解答时要写出必要的文字说明推理过程和演算步骤)
17.在 中, 、 、 分别为内角 的对边,且
(1) 求 的大小;(5分)
(2) 若 ,判断 的形状.(7分)
18.如图,在直三棱柱 中,
,
分别为 的中点。
(1)求证: ∥平面 ;(5分)
(2)求三棱锥 的体积.(7分)
19.某校高三年级有男学生105人,女学生126人,教师42人,用分层抽样的方法从中抽取13人进行问卷调查,设其中某项问题的选择,分别为同意、不同意两种,且每人都做了一种选择,下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息.
同意 不同意 合计
教师 1
女学生 4
男学生 2
(1)完成此统计表;(2分)
(2)估计高三年级学生同意的人数;(4分)
(3)从被调查的女学生中选取2人进行访谈,求选到两名学生中恰有一人同意,一人不同意的概率.(6分)
20.设 分别是椭圆 的左,右焦点.
(1)若 是椭圆在第一象限上一点,且 ,求 点坐标;(5分)
(2)设过定点(0,2)的直线 与椭圆交于不同两点 ,且 为锐角(其中 为原点),求直线 的斜率 的取值范围.(7分)
21.设函数 .
(1)求 的单调区间;(4分)
(2)求所有实数 ,使 对 恒成立.
注: 为自然对数的底数(8分)
(22题、23题、24题中任选一个作答)
22.(本小题满分10分)选修4-1:平面几何选讲
如图所示, 是⊙ 直径,弦 的延长线交于 , 垂直于 的延长
线于 .
求证:(1) ;
(2) .
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的原点在直角坐标系的原点处,极轴为 轴正半轴,直线 的参数
方程为 ,曲线 的极坐标方程为
(1)写出 的直角坐标方程,并说明 是什么曲线?
(2)设直线 与曲线 相交于 两点,求 .
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数
(1)解不等式 ;
(2)求函数 的最小值.