三 分 数 除 法
一、分数除以整数和一个数除以分数的计算方法
1.分数除以整数的计算方法。
(1)整数除法的意义:已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。
(2)分数除法的意义与整数除法的意义相同,都是已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。
(3)分数除以整数(0除外),等于分数乘这个整数的倒数。
2.整数除以分数的计算方法。
整数除以分数,等于整数乘这个分数的倒数。
3.分数除以分数的计算方法。
分数除以分数,可以用被除数乘除数的倒数来计算。
4.推导分数除法的计算方法。
(1)利用商不变的规律进行推导。
被除数和除数同时乘除数的倒数,让除数变为1。
(2)利用等式的基本性质进行推导。
5.分数除法的计算方法。
甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。
6.商与被除数的大小关系。
一个数(0除外)除以
二、“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的解题方法
1.已知一个数的几分之几是多少,求这个数,是把这个数看作单位“1”,单位“1”的量是未知的,可以设单位“1”的量为x,根据乘法的意义列方程解答。
2.可以用算术法解答“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的应用题。算术解法和方程解法都要根据数量之间的相等关系来列式。
3.比较分数乘法应用题与分数除法应用题的异同:
应用题类型 结构特征 计算方法
单位
“1” 比较
量 比较量对应
的几分之几
求一个数的几分之几是多少 已知 未知 已知 乘法:单位“1”的量×几分之几=比较量
求一个数是另一个数的几分之几 已知 已知 未知 除法:比较量÷单位“1”的量=几分之几
已知一个数的几分之几是多少,求这个数 未知 已知 已知 除法:比较量÷几分之几=单位“1”的量
方程:单位“1”的量×几分之几=比较量
三、分数连除和乘除混合运算
1.乘除混合运算的计算方法。
计算分数乘除混合运算时,先把其中的除法转化为乘法,再按照分数连乘的方法进行计算。
2.连除运算的计算方法。
计算分数连除时,先把其中的除法转化为乘法,再按照分数连乘的方法进行计算。
四、比的意义
1.比的意义及各部分名称。
(1)比的意义:两个数相除又叫作两个数的比。
(2)比的读、写方法。
“比”可以用比号“∶”来代替,也可以写成分数的形式,两种形式的比都读“几比几”。如3 比2,写作3∶2或,读作3比2。
(3)比的各部分名称。
(4)比是有序的。
求一个量和另一个量的比,则前一个量是比的前项,后一个量是比的后项。
2.比值的意义和求法。
(1)比值的意义:比的前项除以后项所得的商。
(2)求比值的方法:用比的前项除以后项。
3.比和比值的联系与区别。
(1)比和比值的联系:都可以用分数形式表示。
(2)比和比值的区别:①比表示两个数的倍比关系,比值是一个数值;②比只能写成a∶b或的形式,而比值可以是分数、小数或整数。
4.比与分数、除法的关系。
联系:比的前项相当于分子、被除数;比号相当于分数线、除号;比的后项相当于分母、除数;比值相当于分数值、商。
区别:比是一种关系;分数是一类数;除法是一种运算。
5.比与除法、分数之间的区别。
(1)意义不同:比是表示两个量(或数)的一种关系;除法是一种运算;分数则是一类数。
(2)表示方法不同:作为一种运算,除法算式不能用分数表示;比可以用分数表示;分数不一定表示两个量的比。
(3)结果表达不同:除法一般要求出商;比只有要求计算时才求出比值;分数本身就是一个数值,无需计算。
6.反比:把一个比的前项作为后项,后项作为前项,所得的比和原来的比互成反比。如3∶5是5∶3的反比,5∶3也是3∶5的反比。互成反比的两个比的比值互为倒数。
7.复比:把两个(或两个以上)比的前项相乘的积作为前项,后项相乘的积作为后项,所成的比叫作这些比的复比。如甲、乙两人的速度比是3∶4,时间比是5∶6,那么他们所行的路程比就是(3×5)∶(4×6)=5∶8,路程比就是速度比和时间比的复比。复比的比值等于组成它的各个单比比值的乘积。
8.连比:三个(或三个以上)量组成的比叫作连比。如果甲与乙的比是a∶b,乙与丙的比是b∶c,那么甲、乙、丙三个量的比可以写作a∶b∶c,a∶b∶c就叫作甲、乙、丙三个量的连比。可以把几个比组成连比,也可以把连比分成几个比。比可以看作比的前项除以后项,但是连比不能看作组成连比的几个数连除。连比与连除的含义是不同的。
五、比的基本性质
1.比的基本性质。
比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。这是比的基本性质。
2.化简比。
整数比最简单的
整数比
化简比的结果是一个比,不是一个数。
3.化简比与求比值的区别:
计算(化简)依据 方法 结果
化简比 比的基本性质 把比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外) 是一个最简单的整数比
求比值 比的意义 用比的前项除以比的后项 是一个数,可以是分数、小数或整数
六、按比分配问题的意义及解题方法
1.在工农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配,这种分配方法通常叫作按比分配。
2.按比分配问题的解题方法。
(1)用整数乘、除法解决问题:①求出总份数;②求出每份是多少;③求出各部分的数量。
(2)用分数乘法解决问题:①先根据比求出总份数;②再求出各部分量占总量的几分之几;③最后求出各部分的数量。
3.解决按比分配问题时,无论总数分成几部分,解题方法都是相同的。
把除法转化为乘法,是由一种形式变换成另一种形式,而其本身的大小不变。
易错点:在进行计算时,把除号变为乘号后忘记变为除数的倒数。如÷=×=,应为÷=×=2。
举例:÷=÷=÷1=
被除数(0除外)与商的大小关系取决于除数与1的大小关系。
技巧:
(1)找出单位“1”的量。
(2)看谁和单位“1”的量相比,找出比较量和比较量对应的几分之几。
注意:有时一道题中的单位“1”不止一个,有两个或多个。一个数量在某一个条件中是单位“1”,在另一个条件中有可能就不是单位“1”,解题时要认真比较,找准几分之几对应的单位“1”,才能正确解答。
巧记:
解决问题并不难,读懂题意最关键。
重点找准单位“1”,画出线段破难关。
根据等量列方程,解答完毕要检验。
注意:计算分数连除时,一定要连续地乘除数的倒数,不要只把第一个除数变成它的倒数,其他除数只变符号不变数。
(1)两个数的比可以表示两个数之间的倍数关系。如果汁有2杯,牛奶有3杯,果汁与牛奶杯数的比是2比3,可以理解为果汁有2份,牛奶有3份;也可以理解为果汁的杯数相当于牛奶的,牛奶的杯数相当于果汁的。
(2)两个数的比可以表示两个数相除。
举例:鱼缸里有3条红金鱼,5条黑金鱼,黑金鱼和红金鱼的数量比是( )。
错解:3∶5
正解:5∶3
比值是一个数,它可以是分数、小数或整数。
注意:求两个不同单位的同类量的比,要先把单位统一。如小明看一本漫画书用了1小时,小东看同一本漫画书用了43分钟,小明和小东所用的时间比是( )。
错解:1∶43
正解:60∶43
因为除数和分母都不能为0,所以比的后项也不能为0。
知识巧记:
比的意义很重要,记忆方法有诀窍。
两数相除即为比,除号变点挺奇妙。
前项后项和比值,位置顺序不能调。
分数除法比相联,相互关系要记牢。
化简比的方法:可以用求比值的方法化简比。
判断一个比是不是最简单的整数比的方法:看这个比的前项和后项是不是只有公因数1。
举例:化简比∶。
错解:∶=∶=3
正解:∶=∶=3∶1
易错点:误认为化简同类量的比时只要化为最简整数比就是正确的。一定要注意先统一单位,再化简,但化简后的比不能有单位。如化简0.8 L∶1.4 mL。
错解:4 L∶7 mL
正解:4000∶7
解答按比分配的问题时,一定要找准分配的总量和分配的份数。如一个长方形的周长是84厘米,长与宽的比是4∶3,这个长方形的长和宽各是多少厘米?
因为周长是两个长与两个宽的和,所以应该先用周长84除以2后,再按比分配。