解三角形应用举例
正余弦定理在有关距离问题中的应用
例1、设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。测量者在A的同测,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离55cm,∠BAC=51o, ∠ACB=75o,求A、B两点间的距离(精确到0.1m)
例2、A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量两点间的距离的方法。
分析:用例1的方法,可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离,再测出∠BCA的大小,借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
解:测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β,∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在⊿ADC和⊿BDC中,应用正弦定理得。
点评
测量不可到达的两点间的距离时:
若是其中一点可以到达,利用一个三角形即可解决,一般用正弦定理;若是两点均不可到达,则需要用两个三角形才能解决,一般正、余弦定理都要用到.
例3.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为6°20’,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到0.01m).
(1)什么是最大仰角?
(2)例题中涉及一个怎样的三角形?在△ABC中已知什么,要求什么?
练习1:如图7所示,隔河可以看见目标A,B,但不能到达,在岸边选择相距 km的C,D两点,并测得DCB=45°,∠BDC=75°,∠ADC=30°,∠ACD=120°(A、B、C、D在同一平面内),求两目标A、B之间的距离.
练习2.一货轮在海上由西向东航行,在A处望见灯塔C在货轮的东北方向,半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向.若货轮的速度为30 n mile/h,当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时,求A,D两处的距离.
课堂小结
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