2012中考数学一元二次方程综合题解析
一元二次方程综合题是中考热点,常常结合其他方面知识进行考查,下面通过几个例子进行分类解析。
一、一元二次方程与一次函数综合
例 已知关于x的一元二次方程x2 = 2(1-m)x-m2 的两实数根为x1,x2.
(1)求m的取值范围;
(2)设y = x1 + x2,当y取得最小值时,求相应m的值,并求出最小值.
分析:(1)若一元二次方程有两不等根,则根的判别式△=b2-4ac0,建立关于m的不等式,可求出m的取值范围;(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式,进而可得出y、m的函数关系式,根据函数的性质及(1)题得出的自变量的取值范围,即可求出y的最小值及对应的m值.
解:(1)将原方程整理为 x2 + 2(m-1)x + m2 = 0.
∵ 原方程有两个实数根,
△= [ 2(m-1)2-4m2 =-8m + 40,得 m.
(2) ∵ x1,x2为x2 + 2(m-1)x + m2 = 0的两根,
y = x1 + x2 =-2m + 2,且m.
因而y随m的增大而减小,故当m =时,取得最小值1.
二、一元二次方程与反比例函数综合
例2已知关于x的方程.若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上,求满足条件的m的最小值.
分析:写出两根之积,两根之积等于m,进而求出m的最小值.
解: 设方程的两个根为,,
根据题意得.又由一元二次方程根与系数的关系得,