(依据:《算学启蒙》;编诗:铁夫) 直田长与平之和,九十二步全包罗;
地积八亩五分五,长平步数各几何?
【解说】这是依据元代大数学家朱世杰著述的《算学启蒙》一书中的“长平各几何”一题编写而成的。原来的题目是:
“今有直田八亩五分五厘,只云长平和得九十二步,问长、平各几何?”
题目中的“直田”,即长方形田;“平”即长方形的宽;“只云长平和”中的“只云”,即“只知道”的意思,“长平和”,就是长与宽的和。
题目的意思比较明白,不必另作说明。解答时,我们应先搞清“亩”与“平方步”之间的换算关系。
我国古代自“商鞅变法”以后,便废除了以前的100平方步为1亩的规定,而改用“1亩=240平方步”的制度。据此,可知题中的“八亩五分五厘”,就是
8亩5分5厘
=8.55亩
=240平方步×8.55
=2052平方步
现仿杨辉的示意图,也可画一个此题的示意图如下。
从图中可以看出,用四个长方形田(直田)组成的大正方形的面积是 92×92=8464(步)。而周围的4个长方形田面积共是
2052×4=8208(平方步)
故正中心小正方形的面积就是
8464-8208=256(平方步)
再由 256=2×2×2×2×2×2×2×2
=(2×2×2×2)×(2×2×2×2)
=16×16
可以知道,正中心的小正方形的边长就是16步。
然后,用“和差问题”的解题方法,即可求得这直田的长为
(92+16)÷2=108÷2=54(步)
这直田的宽为(92-16)÷2=76÷2=38(步)
答:这直田的长为54步,平(宽)为38步。
【思考、练习】
1.有一块长方形田,面积为375平方米,它的长比宽多10米。问:这块长方形田的长、宽共是多少米?(答案:40米)
2.有一丘长方形田的面积为216平方丈,长与宽的和为30丈。长和宽各是多少丈?(答案:长18丈,宽12丈)