◆您现在正在阅读的柯西文章内容由收集!本站将为您提供更多的精品教学资源!柯西柯西，A．L．（Cauchy，Augustin－Louis）1789年8月21日生于法国巴黎；1857年5月22日卒于法国斯科。数学、数学物理、力学。
数学分析严格化的开拓者
分析严格化的需要
柯西怀着严格化的明确目标，为数学分析建立了一个基本严谨的完整体系。他说：“至于方法，我力图赋予……几何学中存在的严格性，决不求助于从代数一般性导出的推理。这种推理……只能认为是一种推断，有时还适用于提示真理，但与数学科学的令人叹服的严谨性很不相符。”他说他通过分析公式成立的条件和规定所用记号的意义，“消除了所有不确定性”，并说：“我的主要目标是使严谨性（这是我在《分析教程》中为自己制定的准绳）与基于无穷小的直接考虑所得到的简单性和谐一致。”
极限与无穷小
柯西规定：“当一个变量相继取的值无限接近于一个固定值，最终与此固定值之差要多小就有多小时，该值就称为所有其他值的极限。”“当同一变量相继取的数值无限减小以至降到低于任何给定的数，这个变量就成为人们所称的无穷小或无穷小量。这类变量以零为其极限。”“当同一变量相继取的数值越来越增加以至升到高于每个给定的数，如果它是正变量，则称它以正无穷为其极限，记作∞；如果是负变量，则称它以负无穷为其极限，记作－∞。”
从字面上看，柯西的定义与在此以前达朗贝尔、拉克鲁瓦所给的定义差别不大，但实际上有巨大改进。
首先，柯西常常把他的定义转述为不等式。在讨论复杂表达式的极限时，他用了ε－δ论证法的雏型。其次，他首次放弃了过去定义中常有的“一个变量决不会超过它的极限”这类不必要的提法，也不提过去定义中常涉及的一个变量是否“达到”它的极限，而把重点放在变量具有极限时的性态。最后，他以极限为基础定义无穷小和微积分学中的基本概念，建立了级数收敛性的一般理论。
函数及其连续性
柯西以接近于现代的方式定义单元函数：“当一些变量以这样的方式相联系，即当其中之一给定时，能推知所有其他变量的值，则通常就认为这些变量由前一变量表示，此变量取名为自变量，而其余由自变量表示的变量，就是通常所说的该自变量的一些函数。”他以类似方式定义多元函数，并区别了显函数和隐函数，用他建立的微分方程解的存在性定理在较强条件下证明了隐函数的局部存在性。
柯西给出了连续的严格定义：“函数f（x）是处于两个指定界限之间的变量x的连续函数，如果对这两个界限之间的每个值x，差f（x＋a）－f（x）的数值随着a无限减小。换言之，……变量的无穷小增量总导致函数本身的无穷小增量。”在一个附录中，他给出了闭区间上连续函数介值性质的严格证明，其中用到了“区间套”思想。
微分学
柯西按照前人方式用差商的极限定义导数，但在定义中多了一句：“当这个极限存在时，……用加撇符号y'或f'（x）表示。”这表明他已用崭新的方式考虑问题。他把导数定义转述为不等式，由此证明有关的各种定理。
柯西以割线的极限位置切线，用中值定理证明极限点处切线的水平性。他证明了f'（x0）＝……＝f（n－1）（x0）＝0时用f（n）（x0）的符号判断极大、极小的命题。他由自己的中值定理推导出洛必达法则。这样，他就为微分学的应用奠定了严格的理论基础。
积分学
他既给出了连续函数定积分的定义，又证明了它的存在性。他还指出这种定义对于不能把被积函数转化为原函数的一般情形也适用。他给出了现在通用的广义积分的定义。
柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿－莱布尼茨公式。他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式。
柯西的定义是从仅把积分看作微分逆运算走向现代积分理论的转折点，他坚持先证明存在性则是从依赖直觉到严格分析的转折点。
级数论
柯西是第一个认识到无穷级数论并非多项式理论的平凡推广而应当以极限为基础建立其完整理论的数学家。他以部分和有限定义级数收敛并以此极限定义收敛级数之和。18世纪中许多数学家都隐约地使用过这种定义，柯西则明确地陈述这一定义，并以此为基础比较严格地建立了完整的级数论。他给出所谓“柯西准则”，证明了必要性，并以理所当然的口气断定充分性。对于正项级数，他严格证明了比率判别法和他创造的根式判别法；指出ΣUn与Σ2nU2n同时收敛或发散，由此推出一些常用级数的敛散性；证明两个收敛级数Σ的积级数Σ收敛。对于一般项级数，他引进了绝对收敛概念，指出绝对收敛级数必收敛；收敛级数之和收敛，但积不一定收敛，并举出反例
对于幂级数，柯西得到了收敛半径公式，他以例子f（x）＝e－1/x2表明，一个函数可为它的泰勒级数代替只当后者收敛且其和等于所给函数。
影响
在柯西手里，微积分构成了由定义、定理及其证明和有关的各种应用组成的逻辑上紧密联系的体系。他的分析教程成为严格分析诞生的起点。
复变函数论的奠基人
19世纪，复变函数论逐渐成为数学的一个独立分支，柯西为此作了奠基性的工作。
复函数与复幂级数
《分析教程》中有一半以上篇幅讨论复数与初等复函数，这表明柯西早就把建立复变函数论作为分析的一项重要工程。他以形式方法引进复数（“虚表示式”），定义其基本运算，得到这些运算的性质。他比照实的情形定义复无穷小与复函数的连续性。
复积分
柯西写于1814年的关于定积分的论文是他创立复变函数论的第一步。文中给出了所谓柯西－黎曼方程；讨论了改变二重积分的次序问题，提出了被积函数有无穷型间断点时主值积分的观念并计算了许多广义积分。
柯西写于1825年的关于积分限为虚数的定积分的论文，是一篇力作。文中提出了作为单复变函数论基础的“柯西积分定理”。柯西本人用变分方法证明了这条定理，证明中曲线连续变形的思想，可以说是“同伦”观念的萌芽。文中还讨论了被积函数出现一阶与m阶极点时广义积分的计算。
残数演算
术语“残数”首次出现于柯西在1826年写的一篇论文中。他认为残数演算已成为“一种类似于微积分的新型计算方法”，可以应用于大量问题。
复变函数论的建立
C．A．布里奥于1859年出版了《双周期函数论》，阐明了柯西理论的对象，系统阐述了复变函数论，对于把柯西的观念传播到全欧洲起了决定性作用，标志着单复变函数论正式形成。