1．某次测量中，若A在B的南偏东40，则B在A的()
A．北偏西40 B．北偏东50
C．北偏西50 D．南偏西50
答案：A
2．已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km，现测得ABC＝120，则A、C两地间的距离为()
A．10 km B．103 km
C．105 km D．107 km
解析：选D.由余弦定理可知：
AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcosABC.
又∵AB＝10，BC＝20，ABC＝120，
AC2＝102＋202－21020cos 120＝700.
AC＝107.
3．在一座20 m高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为60，塔底的俯角为45，观测台底部与塔底在同一地平面，那么这座水塔的高度是________m.
解析：h＝20＋20tan 60＝20(1＋3) m.
答案：20(1＋3)
4．如图，一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15.求此时船与灯塔间的距离．
解：BCsinBAC＝ACsinABC，
且BAC＝30，AC＝60，
ABC＝180－30－105＝45.
BC＝302.
即船与灯塔间的距离为302 km.
一、选择题
1．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60，C点的俯角为70，则BAC等于()
A．10 B．50
C．120 D．130
解析：选D.如图，BAC等于A观察B点的仰角与观察C点的俯角和，即60＋70＝130.
2．一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120夹角的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过3 h，该船的实际航程为()
A．215 km B．6 km
C．221 km D．8 km
解析：选B.v实＝
22＋42－242cos 60＝23.
实际航程＝233＝6(km)．故选B.
3.
如图所示，D，C，B在同一地平面的同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30和45，则A点离地面的高度AB等于()
A．10 m B．53 m
C．5(3－1) m D．5(3＋1) m
解析：选D.在△ADC中，
AD＝10sin 135sin 15＝10(3＋1)(m)．
在Rt△ABD中，AB＝ADsin 30＝5(3＋1)(m)
4．(2011年无锡调研)我舰在敌岛A处南偏西50的B处，且AB距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为()
A．28海里/小时 B．14海里/小时
C．142 海里/小时 D．20海里/小时
解析：选B.如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，则在△ABC中，AC＝102＝20(海里)，AB＝12海里，BAC＝120，
BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos 120＝784，
BC＝28海里，
v＝14海里/小时．
5．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的持续时间为()
A．0.5小时 B．1小时
C．1.5小时 D．2小时
解析：选B.设t小时后，B市处于危险区内，
则由余弦定理得：
(20t)2＋402－220t40cos 45302.
化简得：4t2－82t＋70，
t1＋t2＝22，t1t2＝74.
从而|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝1.
6．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45、30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是()
A．1002米 B．400米
C．2003米 D．500米
解析：选D.由题意画出示意图，设高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，在Rt△ABD中，由已知BD＝3h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BCCDcosBCD，得3h2＝h2＋5002＋h500，
解之得h＝500(米)，故选D.
二、填空题
7．一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30角，树干底部与树尖着地处相距5米，则树干原来的高度为________米．
答案：10＋53
8.
如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的__________．
解析：由题意可知ACB＝180－40－60＝80.∵AC＝BC，CAB＝CBA＝50，从而所求为北偏西10.
答案：北偏西10
9．海上一观测站测得方位角240的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107 海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过________分钟，海盗船即可到达商船．
解析：如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A、B、C处，20分钟后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝107，AD＝20，CD＝30，由余弦定理得
cosADC＝AD2＋CD2－AC22ADCD
＝400＋900－70022030＝12.
ACD＝60，在△ABD中由已知得ABD＝30.
BAD＝60－30＝30，
BD＝AD＝20，209060＝403(分钟)．
答案：403
三、解答题
10．如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，在河岸边选定两点C、D，测得CD＝1000米，ACB＝30，BCD＝30，BDA＝30，ADC＝60，求AB的长．
解：由题意知△ACD为正三角形，
所以AC＝CD＝1000米．
在△BCD中，BDC＝90，
所以BC＝CDcosBCD＝1000cos 30＝200033米．
在△ACB中，AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos 30
＝10002＋200023－2100020003332
＝1000213，
所以AB＝100033米．
11．如图，地面上有一旗杆OP，为了测得它的高度，在地面上选一基线AB，测得AB＝20 m，在A处测得点P的仰角为30，在B处测得点P的仰角为45，同时可测得AOB＝60，求旗杆的高度(结果保留1位小数)．
解：设旗杆的高度为h，
由题意，知OAP＝30，OBP＝45.
在Rt△AOP中，OA＝OPtan 30＝3h.
在Rt△BOP中，OB＝OPtan 45＝h.
在△AOB中，由余弦定理，
得AB2＝OA2＋OB2－2OAOBcos 60，
即202＝(3h)2＋h2－23hh12.
解得h2＝4004－3176.4.
h13(m)．
旗杆的高度约为13 m.
12．一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角为45距离10海里的C处，并沿方位角为105的方向，以9海里/时的速度航行．“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救．求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程．
解：如图所示，若“黄山”舰以最少时间在B处追上商船，则A，B，C构成一个三角形．
设所需时间为t小时，
则AB＝21t，BC＝9t.
又已知AC＝10，依题意知，ACB＝120，
根据余弦定理，AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcosACB.
(21t)2＝102＋(9t)2－2109tcos 120，
(21t)2＝100＋81t2＋90t，
即360t2－90t－100＝0.
t＝23或t＝－512(舍)．
AB＝2123＝14(海里)．
即“黄山”舰需要用23小时靠近商船，共航行14海里．