高三数学章末综合测试题(13)立体几何(1)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84,则圆台较小底面的半径为()
A.7 B.6 C.5 D.3
解析 A 依题意,设圆台上、下底面半径分别为r、3r,则有(r+3r)3=84,解得r=7.
2.如图所示,在空间四边形ABCD中,点E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边BC、CD上的点,且CFCB=CGCD=23,则()
A.EF与GH平行
B.EF与GH异面
C.EF与 GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上
D.EF与GH的交点M一定在直线AC上
解析 D 依题意,可得EH∥BD,FG∥BD,故EH∥FG,所以E、F、G、H共面.因为EH=12BD,FG=23BD,故EHFG,所以EFGH是梯形,EF与GH必相交,设交点为M.因为点M在EF上,故点M在平面ACB上.同理,点M在平面ACD上,即点M是平面ACB与平面ACD的交点,而AC是这两个平面的交线,所 以点M一定在AC上.
3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k=()
A.1 B.15 C.35 D.75
解析 D k a+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=
(3,2,-2),∵两向量垂直,3(k-1)+2k-22=0,k=75.
4.已知直线m、n和平面,在下列给定的四个结论中,m∥n的一个必要但不充分条件是()
A.m∥,n∥ B.m,n
C.m∥,n D.m、n与 所成的角相等
解析 D 对于选项A,当m∥,n∥时,直线m、n可以是平行、相交或异面 ;而当m∥n时,m、n与的关系不确定,故选项A是m∥n的既不充分也不必要条件;选项B是m∥n的充分不必要条件;选项C是m∥n的既不充分也不必要条件;对于选项D,由m∥n可以得到m、n与所成的角相等,但是m、n与所成的角相等得不到m∥n.故选项D符合题意.
5.已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆),根据图中标出的数据,这个几何体的体积是()
A.288+36
B.60
C.288+72
D.288+18
解析 A 依题意得,该几何体是由一个长方体与半个圆柱的组合体,其中长方体的长、宽、高分别为8、6、6,半个圆柱相应的圆柱底面半径为3、高为8,因此该几何体的体积等于866+12328=288+36,故选A.
6.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确 的是()
A.l1l2,l2l3l1∥l3 B.l1l2,l2∥l3l1l3
C.l1∥l2∥l3l1,l2,l3共面 D.l1,l2,l3共点l1,l2,l3共面
解析 B 在空间中,垂直于同一直线的两条直线不一定平行,故A错;两平行线中的一条垂直于第三条直线,则另 一条也垂直于第三条直线,B正确;相互平行的三条直线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱,故C错;共点的三条直线不一定共面,如三棱锥的三条侧棱,故D错.
7.将一个边长为a的正方体,切成27个全等的小正方体,则表面积增加了()
A.6a2 B.12a2
C.18a2 D.24a2
解析 B 依题意,小正方体的棱长为a3,所以27个小正方体的表面积总和为276a32=18a2,故表面积增加量为18a2-6a2=12a2.
8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()
A.63 B.265
C.155 D.105
解析 D 如图,连接A1C1,B1D1,交于点O1,由长方体的性质易知C1BO1为BC1与平面BB1D1D所成的角.
∵BC=2,CC1=1,BC1=22+1=5,
又C1O1=12A1C1=1222+22=2,
在Rt△BO1C1中,sin C1BO1=O1C1BC1=25=105.
9.已知,,是三个不同的平面,命题“∥,且”是真命题,如果把,,中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有命题中,真命题有()
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
解析 C 若,换为直线a,b,则命题化为“a∥b,且ab”,此命题为真命题;若,换为直线a,b,则命题化为“a∥,且abb”,此命题为假命题;若,换为直线a,b,则命题化为“a∥,且bab”,此命题为真命题.
10.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=10,AD=5,AA1=4.分别过BC、A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分,其体积分别记为V1=VAEA1-DFD1,V2=VEBE1A1-FCF1D1,V3=VB1E1B-C1F1C.若V1∶V2∶V3=1∶3∶1,则截面A1EFD1的面积为()
A.410 B.83
C.202 D.162
解析 C 由V1=V3,可得AE=B1E1,设AE=x,则12x45∶[(10-x)45]=1∶3,得x=4,则A1E=42+42=42,所以截面A1EFD1的面积为202.
11.如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,A,B,C是展开图上的三点,则在正方体盒子中,ABC的值为()
A.30
B.45
C.60
D.90
解析 C 还原正方体,如下图所示,连接AB,BC,AC,可得△ABC是正三角形,则ABC=60.故选C.
12.连接球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于27、43,M、N分别为AB、CD的中点,每条弦的两端都在球面上运动,有下列四个命题:
①弦AB、CD可能相交于点M;
②弦AB、CD可能相交于点N;
③MN的最大值为5;
④MN的最小值为1.
其中真命题的个数是 ()
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 C 易求得M、N到球心O的距离分别为OM=3,ON=2,若两弦交于M,则ONMN,在Rt△ONM中,有ONOM,符合题意,故①正确.若两弦交于N,同①推得,OMON,矛盾,故②错.当M、O、N共线,M、N在O同侧,则MN取最小值1;M、N在O两侧,则MN取最大值5,故③④正确.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横 线上)
13. 如图,在正四棱柱A1C中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只需满足条件________时,就有MN∥平面B1BDD1.(注:请填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑全部可能情况)
解析 ∵FH∥DD1,HN∥BD,平面FHN∥平面B1BDD1,只要MFH,则MN平面FHN,MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)
【答案】 M位于线段FH上
14.已知、是两个不同的平面,m、n是平面及平面之外的两条不同的直线,给出四个论断:①m∥n,②∥,③m,④n,以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:________.
解析 同垂直于一个平面的两条直线互相平行,同垂直于两个平行平面的两条直线也互相平行.
【答案】 ②③④①
15.已知命题:“若xy,y∥z,则xz”成立,那么字母x,y,z在空间所表示的几何图形有可能是:①都是直线;②都是平面;③x,y是直线,z是平面;④x,z是平面,y是直线.上述判断中,正确的有________(请将你认为正确的序号都填上).
解析 当字母x,y,z都表示直线时,命题成立;当字母x,y,z都表示平面时,命题也成立;当x,z表示平面,y表示直线时,由相关的判定定理知命题也成立;
当x,y表示直线,z表示平面时,xz不一定成立,还有可能x∥z或x与z相交,故①②④正确,③不正确.
【答案】 ①②④
16.如图,二面角-l-的大小是60,线段AB,Bl,AB与l所成的角为30,则AB与平面所成的角的正弦值是________.
解析 如图,作AO于O,ACl于C,连接OB、OC,则OCl.设AB与所成角为,
则ABO= ,由图得sin =AOAB=ACABAOAC=sin 30sin 60=34.
【答案】 34
三、解答题(本大 题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)如图所示,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,沿对角线BD把△ABD折起,使点A在平面BCD上的射影E落在BC上.
(1)求证:平面ACD平面ABC;
(2)求三棱锥 A-BCD的体积.
解析 (1)∵AE平面BCD,AECD.
又BCCD, 且AEBC=E,
CD平面ABC.
又CD平面ACD,
平面ACD平面ABC.
(2)由(1)知,CD平面ABC,
又AB平面ABC,CDAB.
又∵ABAD,CDAD=D,
AB平面ACD.
VA-BCD=VB-ACD=13S△ACDAB.
又∵在△ACD中,ACCD,AD=BC=4,AB=CD=3,
AC=AD2-CD2=42-32=7.
VA-BCD=1312733=372.
18.(12分)如图,四边形ABCD为正方形,四边形BDEF为矩形,AB=2BF,DE平面ABCD,G为EF的中点.
(1)求证:CF∥平面ADE;
(2)求证:平面ABG平面CDG;
(3)求二面角C-FG-B的余弦值.
解析 (1)∵BF∥DE,BC∥AD,BFBC=B,DEAD=D,平面CBF∥平面ADE.
又CF平面CBF,
CF∥平面ADE.
(2)如图,取AB的中点M,CD的中点N,连接GM、GN、MN、AC、BD,设AC、MN、BD交于O,连接GO.
∵四边形ABCD为正方形,四边形BDEF为矩形,
AB=2BF,DE平面ABCD,G为EF的中点,
则GO平面ABCD,GO=12MN,
GNMG.
又GN DC,AB∥DC,
GNAB.
又ABMG=M,
GN平面GAB.
又GN平面CDG,
平面ABG平面CDG.
(3)由已知易得CGFG,由(2)知GOEF,
CGO为二面角C-FG-B的平面角,
cos CGO=GOGC=33.
19.(12分)(2011南昌二模)如图所示的多面体ABC-A1B1C1中,三角形ABC是边长为4的正三角形,AA1∥BB1∥CC1,AA1平面ABC,AA1=BB1=2CC1=4.
(1)若O是AB的中点,求证:OC1A1B1;
(2)求平面AB1C1与平面A1B1C1所成的角的余弦值.
解析 (1)设线段A1B1的中点为E,连接OE,C1E.
由AA1平面ABC得AA1AB,
又BB1∥AA1且AA1=BB1,
所以AA1B1B是矩形.
又点O是线段AB的中点,
所以OE∥AA1,所以OEA1B1.
由AA1平面ABC得AA1AC,A1ABC.
又BB1∥AA1∥CC1,
所以BB1BC,CC1AC,CC1BC,
且AC=BC=4,AA1=BB1=4,CC1=2,
所以A1C1=B1C1,所以C1EA1B1.
又C1EOE=E,
所以A1B1平面OC1E,
因为OC1平面OC1E,所以OC1A1B1.
(2)如图,以O为原点,OE,OA,OC所在方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz,
则A(0,2,0),A1(4,2,0),B1(4,-2,0),C1(2,0,23),
设平面AB1C1的法向量为n1=(x1,y1,z1),则有
n1AB1=0,n1AC1=0
x1,y1,z14,-4,0=0,x1,y1,z12,-2,23=0x1=y1,z1=0,
令x1=1,则n1=(1,1,0).
设平面A1B1C1的法向量为n2=(x2,y2,z2),则有
n2A1B1=0,n2A1C1=0x2,y2,z20,-4,0=0,x2,y2,z2-2,-2,23=0
y2=0,x2=3z2,令z2=1,则n2=(3,0,1).
所以cos〈n1,n2〉=n1n2|n1||n2|=322=64,
所以平面AB1C1与平面A1B1C1所成的角的余弦值是64.
20.(12分)如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DB=BC,DBAC,点M是棱BB1上一点.
(1)求证:B1D1∥平面A1BD;
(2)求证:MDAC;
(3)试确定点M的位置,使得平面DMC1平面CC1D1D.
解析 (1)由直四棱柱概念,得BB1綊DD1,
四边形BB1D1D是平行四边形,
B1D1∥BD.
而BD平面A1BD,B1D1平面A1BD,B1D1∥平面A1BD.
(2)∵BB1平面ABCD,AC平面ABCD,
BB1AC.
又∵BDAC,且BDBB1=B,
AC平面BB1D1D.
而MD平面BB1D1D,
MDAC.
(3)当点M为棱BB1的中点时,取DC的中点N,D1C1的中点N1,连接NN1交DC1于O,连接OM,如图所示.
∵N是DC的中点,BD=BC,BNDC.
又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线,
而平面ABCD平面DCC1D1,
BN平面DCC1D1.
又可证得,O是NN1的中点,BM綊ON,
即四边形BMON是平行四边形,
BN∥OM,OM平面CC1D1D,
∵OM平面DMC1,平面DMC1平面CC1D1D.
21.(12分)如图所示,在直角梯形ABCP中,BC∥AP,ABBC,CDAP,AD=DC=PD=2.E,F,G分别为线段PC,PD,BC的中点,现将△PDC折起,使平面PDC平面ABCD.
(1)求证:PA∥平面EFG;
(2)求二面角G-EF-D的大小.
解析 (1)∵PE=EC,PF=FD,EF∥CD.
又CD∥AB,EF∥AB,EF∥平面PAB.
同理,EG∥平面PAB.
又∵EFEG=E,平面PAB∥平面EFG,
而PA在平面PAB内,PA∥平面EFG.
(2)如图,以D为坐标原点,DA,DC,DF所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1),F(0,0,1),G(1,2,0),
易知DA=(2 ,0,0)为平面EFD的一个法向量.
设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z),
又EF=(0,-1,0),EG=(1,1,-1),
由nEF=0,nEG=0,得x,y,z0,-1,0=0,x,y,z1,1,-1=0,
即y=0,x+y-z=0,取x=1,得n=(1,0,1).
设所求二面角为,cos =nDA|n||DA|=222=22,
=45,即二面角G-EF-D的平面角的大小为45.
2 2.(12分)在侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,且BAD=60,A1A=AB,E为BB1延长线上的一点,D1E面D1AC.
(1)求二面角E-AC-D1的大小;
(2)在D1E上是否存在一点P,使A1P∥平面EAC?若存在,求D1P∶PE的值;若不存在,说明理由.
解析 设AC与BD交于O,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,设AB=2,则A(3,0,0),B(0,1,0),C(-3,0,0),D(0,-1,0),D1(0,-1,2),A1(3,0,2).
(1)设E(0,1,2+h),则D1E=(0,2,h),AC=(-23,0,0),D1A=(3,1,-2),
∵D1E平面D1AC,
D1EAC,D1ED1A,
D1EAC=0,D1ED1A=0,
2-2h=0,h=1,即E(0,1,3),
D1E=(0,2,1),AE=(-3,1,3).
设平面EAC的法向量为m=(x,y,z),
则mAC,mAE,
x=0,-3x+y+3z=0,
令z=-1,得m=(0,3,-1),
cos〈m,D1E〉=mD1E|m||D1E|=22,
二面角E-AC-D1的大小为45.
(2)设D1P=PE=(D1E-D1P),
则D1P=1+D1E=0,21+,1+,
A1P=A1D1+D1P
=(-3,-1,0)+0,21+,1+
=-3,-11+,1+.
∵A1P∥平面EAC,
A1Pm,
A1Pm=0,
-30+3-11++(-1)1+=0,
=32.
存在点P使A1P∥平面EAC,
此时D1P∶PE=3∶2.