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高二数学正弦定理测试题

2016-10-26

1.在△ABC中,A=60,a=43,b=42,则()

A.B=45或135  B.B=135

C.B=45 D.以上答案都不对

解析:选C.sin B=22,∵a>b,B=45.

2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2,b=6,B=120,则a等于()

A.6 B.2

C.3 D.2

解析:选D.由正弦定理6sin 120=2sin Csin C=12,

于是C=30A=30a=c=2.

3.在△ABC中,若tan A=13,C=150,BC=1,则AB=__________.

解析:在△ABC中,若tan A=13,C=150,

A为锐角,sin A=110,BC=1,

则根据正弦定理知AB=BCsin Csin A=102.

答案:102

4.已知△ABC中,AD是BAC的平分线,交对边BC于D,求证:BDDC=ABAC.

证明:如图所示,设ADB=,

则ADC=-.

在△ABD中,由正弦定理得:

BDsin A2=ABsin ,即BDAB=sinA2sin ;①

在△ACD中,CDsin A2=ACsin-,

CDAC=sinA2sin .②

由①②得BDAB=CDAC,

BDDC=ABAC.

一、选择题

1.在△ABC中,a=5,b=3,C=120,则sin A∶sin B的值是()

A.53 B.35

C.37 D.57

解析:选A.根据正弦定理得sin Asin B=ab=53.

2.在△ABC中,若sin Aa=cos Cc,则C的值为()

A.30 B.45

C.60 D.90

解析:选B.∵sin Aa=cos Cc,sin Acos C=ac,

又由正弦定理ac=sin Asin C.

cos C=sin C,即C=45,故选B.

3.(2010年高考湖北卷)在△ABC中,a=15,b=10,A=60,则cos B=()

A.-223 B.223

C.-63 D.63

解析:选D.由正弦定理得15sin 60=10sin B,

sin B=10sin 6015=103215=33.

∵a>b,A=60,B为锐角.

cos B=1-sin2B=1-332=63.

4.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是()

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.等腰三角形

解析:选B.由题意有asin A=b=bsin B,则sin B=1,即角B为直角,故△ABC是直角三角形.

5.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知A=3,a=3,b=1,则c=()

A.1 B.2

C.3-1 D.3

解析:选B.由正弦定理asin A=bsin B,可得3sin3=1sin B,

sin B=12,故B=30或150.

由a>b,得A>B,B=30.

故C=90,由勾股定理得c=2.

6.(2011年天津质检)在△ABC中,如果A=60,c=4,a=4,则此三角形有()

A.两解 B.一解

C.无解 D.无穷多解

解析:选B.因csin A=23<4,且a=c,故有唯一解.

二、填空题

7.在△ABC中,已知BC=5,sin C=2sin A,则AB=________.

解析:AB=sin Csin ABC=2BC=25.

答案:25

8.在△ABC中,B=30,C=120,则a∶b∶c=________.

解析:A=180-30-120=30,

由正弦定理得:

a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶3.

答案:1∶1∶3

9.(2010年高考北京卷)在△ABC中,若b=1,c=3,C=23,则a=________.

解析:由正弦定理,有3sin23=1sin B,

sin B=12.∵C为钝角,

B必为锐角,B=6,

A=6.

a=b=1.

答案:1

三、解答题

10.在△ABC中,已知sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6,且a+b+c=30,求a.

解:∵sin A∶sin B∶sin C=a2R∶b2R∶c2R=a∶b∶c,

a∶b∶c=4∶5∶6.a=30415=8.

11.在△ABC中,角A,B,C所对的三边分别为a,b,c.已知a=5,b=2,B=120,解此三角形.

解:法一:根据正弦定理asin A=bsin B,得sin A=asin Bb=5322=534>1.所以A不存在,即此三角形无解.

法二:因为a=5,b=2,B=120,所以A>B=120.所以A+B>240,这与A+B+C=180矛盾.所以此三角形无解.

法三:因为a=5,b=2,B=120,所以asin B=5sin 120=532,所以b<asin B.又因为若三角形存在,则bsin A=asin B,得b>asin B,所以此三角形无解.

12.在△ABC中,acos(2-A)=bcos(2-B),判断△ABC的形状.

解:法一:∵acos(2-A)=bcos(2-B),

asin A=bsin B.由正弦定理可得:aa2R=bb2R,

a2=b2,a=b,△ABC为等腰三角形.

法二:∵acos(2-A)=bcos(2-B),

asin A=bsin B.由正弦定理可得:

2Rsin2A=2Rsin2B,即sin A=sin B,

A=B.(A+B=不合题意舍去)

故△ABC为等腰三角形.

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