整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。

无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数 ,比如π，3.1415926535897932384626......

而有理数恰恰与它相反,整数和分数统称为有理数

包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。

这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。

数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又称作分数。希腊文称为 λογο ，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。不是有理数的实数遂称为无理数。

所有有理数的集合表示为 Q，有理数的小数部分有限或为循环。

有理数分为整数和分数

整数又分为正整数、负整数和0

分数又分为正分数、负分数

正整数和0又被称为自然数

如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。

全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。

有理数集是实数集的子集。相关的内容见数系的扩张。

有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：

①加法的交换律 a+b=b+a；

②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；

③存在数0，使 0+a=a+0=a；

④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；

⑤乘法的交换律 ab=ba；

⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；

⑦分配律 a(b+c)=ab+ac；

⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a1=a；

⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。

⑩0a＝0 文字解释：一个数乘0还于0。

此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。

有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b0，必可找到一个自然数n，使nba。由此不难推知，不存在最大的有理数。

值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。

有理数加减混合运算

1.理数加减统一成加法的意义：

对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的式子是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做代数和。

2.有理数加减混合运算的方法和步骤：

（1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。

（2）运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。

一般情况下，有理数是这样分类的：

整数、分数；正数、负数和零；负有理数，非负有理数

整数和分数统称有理数,有理数可以用a/b的形式表达，其中a、b都是整数，且互质。我们日常经常使用有理数的。比如多少钱，多少斤等。

凡是不能用a/b形式表达的实数就是无理数，又叫无限不循环小数

一个困难的问题

有理数的边界在哪里？

根据定义，无限循环小数和有限小数（整数可认为是小数点后是0的小数），统称为有理数，无限不循环小数是无理数。

但人类不可能写出一个位数最多的有理数，对全地球人类，或比地球人更智慧的生物来说是有理数的数，对每个地球人来说，可能是无法知道它是有理数还是无理数了。因此有理数和无理数的边界，竟然紧靠无理数，任何两个十分接近的无理数中间，都可以加入无穷多的有理数，反之也成立。

竟然没有人知道有理数的边界，或者说有理数的边界是无限接近无理数的。

定理：位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的，尽管它的定义是有有限位，但它是无限趋近于无理数的，以致于没有手段进行判断。

证明：假设位数最多的非无限循环有理数被写出，我们在这个数的最后再加一位，这个数还是有限位有理数，但位数比已写出有理数多一位，证明原来写出的不是位数最多的非无限循环有理数。所以位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的。

关于无理数与有理数无法比较的说明：

对于定义无限不循环小数是无理数，无理数之外为有理数。则无理数很难被证实，而每一个无理数，无论认识多少位，都有有理数对应，而位数较短的有理数，都没有无理数对应，因此有理数多。

对于定义为有限位小数和无限循环小数为有理数，无限不循环数为无理数。对于很多位数多的无法分辨的数没有明确归属，而认为大于特定有限位的数都是无理数的人，才能证明无理数比有理数多，但那明显是将很多很多有理数归为无理数的结果。在这个定义下，由于界限不明，无法进行比较，除非有人能有力的证明。

无限不循环小数不是有理数，如：

0.10100100010000100000......

0.1200000012000012000000120000......

π 等是无限不循环小数，所以不是有理数

循环小数化分数的方法

0.777777......

有一个数循环，分母是一个9，循环数是7.化分数后是7/9

0.535353......

有两个数循环，分母是两个9，循环数是53.化分数后是53/99

我们可以在数轴上表示有理数.注意画数轴的三要素(原点,正方向,单位长度).

1、单项式

对数字和若干个字母施行有限次乘法运算，所得的代数式叫做单项式．单独一个数或一个字母也是单项式．

2、系数

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．

3、单项式的次数

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．

4、多项式

几个单项式的和叫做多项式．

5、多项式的项

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．

－6是常数项．

6、常数项

多项式中，不含字母的项叫做常数项．

7、多项式的次数

多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．

8、降幂排列

把一个多项式，按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列．

9、升幂排列

把一个多项式，按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．

10、整式

单项式和多项式统称整式。

11、同类项

所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项，叫做同类项．常数项都是同类项．

12、合并同类项

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．

合并同类项的法则是：

同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．

例：合并下列各式的同类项：

13、去括号法则 括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号； 括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号． 例：a+(b-2c)-(e-2d)=a+b-2c-e+2d

14、添括号法则 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；

添括号后，括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号．

例：m+2x－y+z－5=m+(2x－y)－(－z+5)

15、整式的加减 整式加减的一般步骤：

1.如果遇到括号，按去括号法则先去括号；

2.合并同类项．

16、代数式的恒等变形 一个代数式用另一个与它恒等的表达式去代换，叫做恒等变形．

如果我有五元钱记作 +5元，我欠别人五元钱记作 -5元，则 +5+（-5）=0 代表我总共只有零元钱。

那么 +5-（-5）=10 代表什么？可不可以代表我应还别人五元钱，别人却反而把五元钱还给我，所以我共有10元钱？

在系列（一）中提到：如果我有五元钱记作 +5元，我欠别人五元钱记作 －5元，则 5+（－5）=0 代表我总共只有零元钱。那么 5－（－5）=10 代表什么？可不可以代表我应还别人五元钱，别人却反而把五元钱还给我，所以我共有10元钱？

现解答如下：

以上问题也可以说是正确的，分析如下∶

这个问题可以从减法的基本含义来解释，即A－B的意义有三点，一是表示A比B多多少? 二是表示从A中减去或拿掉、用去B后还剩多少。三 是引进负数后，Ａ－Ｂ可以人为表示为Ａ＋（－Ｂ），即把减号当做负号，并插入一个加号。

从以上三点分析知道：第一、５－（—５）可以表示，假如我昨天有５元钱，今天不但没有钱反而欠别人５元钱，那么昨天的钱就比今天的钱多１０元。第二、因为－５代表不但没有钱反而欠别人５元钱，那么减少－５就是说如果少用去借来的５元钱，那我就有现金１０元钱。笫三、把５－（－５）表示为５＋［－（－５）］，那么－（－５）就表示与我欠别人５元钱相反的状态即别人反而欠我５元钱，所以这个算式就可以表述为

我有５元钱，如果加上别人欠我５元钱，我总共就有１０元钱

晓红与小红在班上学习成绩最好且难分伯仲，为了明确谁是第一，老师给两个人的每一次考试成绩记一次综合评定分，规定成绩达优秀以上记+5分，成绩优良以下记—5分。因为两人名字相近，老师在一次评定中本来是晓红+5分，小红—5分却记成晓红—5分，小红+5分，为弥补这一错误，应给晓红另外加上多少分？

这是一道初看简单实际复杂的应用题，你有兴趣吗？

答案在下期公布。

我在笫三期中提到：晓红与小红在班上学习成绩最好且难分伯仲，为了明确谁是第一，老师给两个人的每一次考试成绩记一次综合评定分，规定成绩达优秀以上记+5分，成绩优良以下记-5分。因为两人名字相近，老师在一次评定中本来是晓红+5分，小红-5分却记成晓红-5分，小红+5分，为弥补这一错误，应给晓红另外加上多少分？

我为什么出这样的题目？因为类似这样的问题我身边熟悉的人从大人到学生一般都会简单地认为应给晓红加10分，当我回答说正确答案是20分时，他们几乎不相信，也不知如何验证，现解答如下：

笫一种验证方法：原来晓红+5分比小红-5分多10分，即5-（-5）=10。晓红加上20分后对错误的更正变成20+（-5）=15分，对比小红的错误分5分还是多10分，即：15-5=10。

笫二验证办法：对晓红本人来说5分记成-5分减少10分，即5-（-5）=10

对小红来说-5记成5分增加10分，即5-(-5)=10。所以如果对两个人的成绩都进行更正，就是晓红加10分，小红减10分。 因此，也可以小红不减10分，而再给晓红加上10分，即共增加20分，才不会影响两人成绩对比竞争。

晓红与小红在班上学习成绩最好且难分伯仲，为了明确谁是第一，老师给两个人的每一次考试成绩记一次综合评定分，规定成绩全班第一名得5分，第二名至第六名不得分，第七名以下反扣5分。晓红在两次数学单元测试中本来都会得第一名，但因其计算粗心，结果成绩如下：第一单元小红第一名，晓红第六名；弟二单元小红笫六名，晓红第七名。问晓红因粗心造成两次考试共损失多少分？

在系列（五）中提到：晓红与小红在班上学习成绩最好且难分伯仲，为了明确谁是第一，老师给两个人的每一次考试成绩记一次综合评定分，规定成绩全班第一名得5分，第二名至第六名不得分，第七名以下反扣5分。晓红在两次数学单元测试中本来都会得第一名，但因其计算粗心，结果成绩如下：第一单元小红第一名，晓红第六名；弟二单元小红笫六名，晓红第七名。问晓红因粗心造成两次考试共损失多少分？

要解这道题，先讲两个问题：

笫一是直接损失与间接损失问题。在这道题中，直接损失是指晓红因为粗心造成本人分数的减少；间接损失是指竞争对手小红因为晓红的粗心而增加的分数，因为小红分数增加了多少分，晓红与其对比就相对减少了多少分。

第二是名次唯一与名次并列问题。在这道题中，名次唯一是指不管哪一个名次都仅有一人，即如果晓红认真考了第一名，其他人的名次就相应后退一名；名次并列是指一个名次有两人并列，即其他人的名次不因晓红而改变，只是第一名名次与晓红并列而已。

所以这道题如果没有假定条件，准确地说就要分以下四种情况来解答。

一、假定两次考试都是名次唯一

在第一次考试中晓本来会得十5分，实际第六名得零分直接损失5分，在第二次考试中本来会得5分，实际第七名得－5分直接损失10分，两次共直接损失15分。小红第一次得5分，而如果晓红取得笫一名她只能退居第二名得零分，增加5分；第二次得零分，而如果晓红取得笫一名她只能退居第七名得－５分，增加５分，两次共增加１０分就是晓红间接损失１０分。直接损失加间接损失共２５分，这就是晓红的损失分。

二、假定两次考试都是名次并列

这种情况下晓红只有直接损失１５分，而没有间接损失。

三、假定第一次考试是名次唯一，笫二次考试是名次并列

在这种情况下晓红直接损失１５分，间接损失５分，共损失２０分。

四、假定笫一次考试是名次并列，第二次考试是名次唯一

在这种情况下晓红直接损失１５分，间接损失５分，也是共损失２０分。

滑冰场的A点在数轴上－150处，B点在数轴上的＋150处，小王从A滑到B或从B点退滑到A都是用时1小时。

1、如果他以前进3秒再后退2秒的方式滑行，那么从A滑到B要用时多久？

2、如果他以前进5秒后退3秒的方式滑行，那么从A滑到B要用时多久？

解：A到B的距离等于150－（－150）＝300

1小时＝360秒　300÷360＝5/6

即每秒前进5/6，从A到B共有360个5/6

1、依题意，小王实际每5秒钟滑行1个5/6。当滑至

第359个5/6又后退到第357个5/6时，用时

357×5＝1785秒。从第357个5/6滑至B点共用时3秒，所以总用时为1785＋3＝1788秒

2、依题意，小王实际每8秒钟前进2个5/6，按此方式滑行至第359个5/6又后退到第356个5/6时，共用时

8×356/2＝1424秒，从第356个5/6滑到B点共用时4秒，所以总用时为1424＋4＝1428 秒。

（1）细心地发掘概念和公式

很多同学对概念和公式不够重视，这类问题反映在三个方面：一是，对概念的理解只是停留在文字表面，对概念的特殊情况重视不够。例如，在代数式的概念（用字母或数字表示的式子是代数式）中，很多同学忽略了“单个字母或数字也是代数式”。二是，对概念和公式一味的死记硬背，缺乏与实际题目的联系。这样就不能很好的将学到的知识点与解题联系起来。三是，一部分同学不重视对数学公式的记忆。记忆是理解的基础。如果你不能将公式烂熟于心，又怎能够在题目中熟练应用呢？

我们的建议是：更细心一点（观察特例），更深入一点（了解它在题目中的常见考点），更熟练一点（无论它以什么面目出现，我们都能够应用自如）。

（2）总结相似的类型题目

这个工作，不仅仅是老师的事，我们的同学要学会自己做。当你会总结题目，对所做的题目会分类，知道自己能够解决哪些题型，掌握了哪些常见的解题方法，还有哪些类型题不会做时，你才真正的掌握了这门学科的窍门，才能真正的做到“任它千变万化，我自岿然不动”。这个问题如果解决不好，在进入初二、初三以后，同学们会发现，有一部分同学天天做题，可成绩不升反降。其原因就是，他们天天都在做重复的工作，很多相似的题目反复做，需要解决的问题却不能专心攻克。久而久之，不会的题目还是不会，会做的题目也因为缺乏对数学的整体把握，弄的一团糟。

我们的建议是：“总结归纳”是将题目越做越少的最好办法。

（3）收集自己的典型错误和不会的题目

同学们最难面对的，就是自己的错误和困难。但这恰恰又是最需要解决的问题。同学们做题目，有两个重要的目的：一是，将所学的知识点和技巧，在实际的题目中演练。另外一个就是，找出自己的不足，然后弥补它。这个不足，也包括两个方面，容易犯的错误和完全不会的内容。但现实情况是，同学们只追求做题的数量，草草的应付作业了事，而不追求解决出现的问题，更谈不上收集错误。我们之所以建议大家收集自己的典型错误和不会的题目，是因为，一旦你做了这件事，你就会发现，过去你认为自己有很多的小毛病，现在发现原来就是这一个反复在出现；过去你认为自己有很多问题都不懂，现在发现原来就这几个关键点没有解决。

我们的建议是：做题就像挖金矿，每一道错题都是一块金矿，只有发掘、冶炼，才会有收获。

（4）就不懂的问题，积极提问、讨论

发现了不懂的问题，积极向他人请教。这是很平常的道理。但就是这一点，很多同学都做不到。原因可能有两个方面：一是，对该问题的重视不够，不求甚解；二是，不好意思，怕问老师被训，问同学被同学瞧不起。抱着这样的心态，学习任何东西都不可能学好。“闭门造车”只会让你的问题越来越多。知识本身是有连贯性的，前面的知识不清楚，学到后面时，会更难理解。这些问题积累到一定程度，就会造成你对该学科慢慢失去兴趣。直到无法赶上步伐。

讨论是一种非常好的学习方法。一个比较难的题目，经过与同学讨论，你可能就会获得很好的灵感，从对方那里学到好的方法和技巧。需要注意的是，讨论的对象最好是与自己水平相当的同学，这样有利于大家相互学习。

我们的建议是：“勤学”是基础，“好问”是关键。

（5）注重实战（考试）经验的培养

考试本身就是一门学问。有些同学平时成绩很好，上课老师一提问，什么都会。课下做题也都会。可一到考试，成绩就不理想。出现这种情况，有两个主要原因：一是，考试心态不不好，容易紧张；二是，考试时间紧，总是不能在规定的时间内完成。心态不好，一方面要自己注意调整，但同时也需要经历大型考试来锻炼。每次考试，大家都要寻找一种适合自己的调整方法，久而久之，逐步适应考试节奏。做题速度慢的问题，需要同学们在平时的做题中解决。自己平时做作业可以给自己限定时间，逐步提高效率。另外，在实际考试中，也要考虑每部分的完成时间，避免出现不必要的慌乱。

我们的建议是：把“做作业”当成考试，把“考试”当成做作业。

以上，是我就初一数学经常出现的问题给出的一点建议，但要强调的是，任何方法最重要的是有效，同学们在学习中千万要避免形式化，一定要追求实效。

有理数的加法运算

同号两数来相加，绝对值加不变号。

异号相加大减小，大数决定和符号。

互为相反数求和，结果是零须记好。

【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。