赤峰市2015七年级数学下册期中测试卷(含答案解析)

一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑，每小题3分，共24分）

1．﹣2的相反数是（）

A.2 B. C. D.|﹣2|

2．为了加速内蒙古经济建设，国家计划投资204.4亿元修建赤峰市至喀左的"高铁"，204.4亿用科学记数法表示正确的是（）

A.0.2044×1011 B.20.44×109 C.2.044×108 D.2.044×1010

3．下面四个"艺术字"中，轴对称图形的个数是（）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4．如图，直线AB∥CD，一个含60°角的直角三角板EFG（∠E=60°）的直角顶点F在直线AB上，斜边EG与AB相交于点H，CD与FG相交于点M．若∠AHG=50°，则∠FMD等于（）

A.10° B.20° C.30° D.50°

5．解不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（）

A. B. C. D.

6．为了了解某校学生的课外阅读情况，随机抽查了10学生周阅读用时数，结果如下表：

周阅读用时数（小时） 4 5 8 12

学生人数（人） 3 4 2 1

则关于这10名学生周阅读所用时 间，下列说法正确的是（）

A.中位数是6.5 B.众数是12 C.平均数是3.9 D.方差是6

7．如图为正六棱柱与圆锥组成的几何体，其俯视图是（）

A. B. C. D.

8．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y= 在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）

A. B. C. D.

二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共24分）

9．因式分解：3a2﹣6a=．

10．若关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，则ab=．

11．在分别写有﹣1，0，1，2的四张卡片中随机抽取一张，所抽取的数字平方后等于1的概率为．

12．如图，M、N分别是正方形ABCD边DC、AB的中点，分别以AE、BF为折痕，使点D、点C落在MN的点G处，则△ABG是 三角形．

13．如图，AB是⊙O的直径，OB=3，BC是⊙O的弦，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接OD，若∠BAC=20°，则 的长等于．

14．如图，平行四边形ABCD中，AB=AC=4，AB⊥AC，O是对角线的交点，若⊙O过A、C两点，则图中阴影部分的面积之和为．

15．如图，四边形ABC D中，AD∥BC，E是DC上一点，连接BE并延长交AD延长线于点F，请你只添加一个条件：使得四边形BDFC为平行四边形．

16．"梅花朵朵迎春来"，下面四个图形是由小梅花 摆成的一组有规律的图案，按图中规律，第n个图形 中小梅花的个数是．

三、解答题（在答题卡上解答，在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共10题，满分102分）

17．（6分）（2015o赤峰）计算：|﹣ |﹣（ ﹣π）0﹣sin30°+（﹣ ）﹣2．

18．（6分）（2015o赤峰）解二元一次方程组： ．

19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，4），B（﹣4，2），C（﹣2，1），且△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称．

（1）画出△A1B1C1，并写出A1的坐标；

（2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，△ABC经平移后点P的对称点P′（a+3，b+1），请画出平移后的△A2B2C2．

20．（10分）如图，在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为60°，CD⊥AB与点E，E、B、A在一条直线上．请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度（结果保留整数， ≈1.7， ≈1.4 ）

21．（10分）中学生上学带手机的现象越来越受到社会的关注，为此媒体记者随机调查了某校若干名学生上学带手机的目的，分为四种类型：A接听电话；B收发短信；C查阅资料；D游戏聊天．并将调查结果绘制成图1和图2的统计图（不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）此次抽样调查中，共调查了名学生；

（2）将图1、图2补充完整；

（3）现有4名学生，其中A类两名，B类两名，从中任选2名学生，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）．

22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．

（1）求证：PB是的切线．

（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径．

23．（12分）如图，直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，过点C作CD⊥x轴，点P是x轴下方直线CD上的一点，且△OCP与△OBC相似，求过点P的双曲线解析式．

24．（12分）李老师家距学校1900米，某天他步行去上班，走到路程的一半时发现忘带手机，此时离上班时间还有23分钟，于是他立刻步行回家取手机，随后骑电瓶车返回学校．已知李老师骑电瓶车到学校比他步行到学校少用20分钟，且骑电瓶车的平均速度是步行速度的5倍，李老师到家开门、取手机、启动电瓶车等共用4分钟．

（1）求李老师步行的平均速度；

（2）请你判断李老师能否按时上班，并说明理由．

25．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．

（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；

（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；

（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出 当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？

26．（14分）已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．

（1）求此二次函数解析式；

（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；

（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

赤峰市2015七年级数学下册期中测试卷(含答案解析)参考答案

一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑，每小题3分，共24分）

1．﹣2的相反数是（）

A.2 B. C. D.|﹣2|

考点： 相反数．

分析： 一个数的相反数就是在这个数前面添上"﹣"号．

解答： 解：﹣2的相反数是2，

故选A

点评： 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上"﹣"号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．

2．为了加速内蒙古经济建设，国家计划投资204.4亿元修建赤峰市至喀左的"高铁"，204 .4亿用科学记数法表示正确的是（）

A.0.2044×1011 B.20.44×109 C.2.044×108 D.2.044×1010

考点： 科学记数法-表示较大的数．菁优网版权所有

分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形 式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答： 解：204.4亿=20440000000=2.044×1010，

故选D．

点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．下面四个"艺术字"中，轴对称图形的个数是（）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

考点： 轴对称图形．

分析： 根据轴对称图形的定义即可得出结论．

解答： 解：由轴对称图形的性质可知，四个字中的轴对称图形有：美、赤．

故选B．

点评： 本题考查的是轴对称图形，熟知轴对称图形的定义是解答此题的关键．

4．如图，直线AB∥CD，一个含60°角的直角三角板EFG（∠E=60°）的直角顶点F在直线AB上，斜边EG与AB相交于点H，CD与FG相交于点M．若∠AHG=50°，则∠FMD等于（）

A.10° B.20° C.30° D.50°

考点： 平行线的性质．

分析： 先根据平行线的性质求出∠CKG的度数，再由三角形外角的性质得出∠KMG的度数，根据对顶角相等即可得出结论．

解 答： 解：∵直线AB∥CD，∠ AHG=50°，

∴∠AKG=∠XKG=50°．

∵∠CKG是△KMG的外角，

∴∠KMG=∠CKG﹣∠G=50°﹣30°=20°．

∵∠KMG与∠FMD是对顶角，

∴∠FMD=∠KMG=20°．

故选B．

点评： 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．

5．解不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（）

A. B. C. D.

考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．

分析： 分别求得不 等式组中的两个不等式的解集，然后取其交集，并表示在数轴上．

解答： 解：

解不 等式（1），得

x≤﹣1．

解不等式（2），得

x＞﹣3，

则原不等式组的解集为：﹣3＜x≤﹣1．

表示在数轴上为： ．

故选：C．

点评： 本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式的解集．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式 组的解集．有几个就要几个．在表示解集时"≥"，"≤"要用实心圆点表示；"＜"，"＞"要用空心圆点表示．

6．为了了解某校学生的课外阅读情况，随机抽查了10学生周阅读用时数，结果如下表：

周阅读用时数（小时） 4 5 8 12

学生人数（人） 3 4 2 1

则关于这10名学生周阅读所用时间，下列说法正确的是（）

A.中位数是6.5 B.众数是12 C.平均数是3.9 D.方差是6

考点： 方差；加权平均数；中位数；众数．

分析： A：根据中位数的求法，把这10名学生周阅读所用时间从大到小排列，则中间两个数的平均数即是这10名学生周阅读所用时间的中位数．

B：根据众数的求法，这10名学生周阅读所用时间中出现次数最多的，即 为这10名学生周阅读所用时间的众数．

C：根据算术平均数的求法，求出这10名学生周阅读所用时间的平均数是多少即可．

D：根据方差的计算方法，求出这10名学生周阅读所用时间的方差是多少即可．

解答： 解：这10名学生周阅读所用时间从大到小排列，可得

4、4、4、5、5、5、5、8、8、12，

∴这10名学生周阅读所用时 间的中位数是：

（5+5）÷2=10÷2=5，

∴选项A不正确；

∵这10名学生周阅读所用时间出现次数最多的是5小时，

∴这10名学生周阅读所用时间的众数是5，

∴选项B不正确；

∵（4×3+5×4+8×2+12）÷10

=60÷10

=6

∴这10名学生周阅读所用时间的平均数是6，

∴选项C不正确；

∵ [（4﹣6）2+（4﹣6）2+（4﹣6）2+（5﹣6）2+（5﹣6）2+（5﹣6）2+（5﹣6）2+（8﹣6）2+（8﹣6）2+（12﹣6）2]

= [4+4+4+1+1+1+1+4+4+36]

= 60

=6

∴这10名学生周阅读所用时间的方差是6，

∴选项D正确．

故选：D．

点评： （1）此题主要考查了算术平均数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．

（2）此题还考查了方差的含义和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

（3）此题还考查了中位数、众数的含义和求法，要熟练掌握．

7．如图为正六棱柱与圆锥组成的几何体，其俯视图是（）

A. B. C. D.

考点： 简单组合体的三视图．

专题： 计算题．

分析： 从几何体上方观察，得到俯视图即可．

解答： 解：如图为正六棱柱与圆锥组成的几何体，其俯视图是 ．

故选D

点评：此题考查了简单组合体的三视图，俯视图即为从上方观察几何体得到的试图．

8．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y= 在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）

A. B. C. D.

考点： 二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．

分析： 根据二次函数图象与系数的关系确定a＞0，b＜0，c＜0，根据一次函数和反比例函数的性质确定答案．

解答： 解：由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，

∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，

反比例函数y= 的图象在第二、四象限，

故选：B．

点评： 本题考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的图象与系数的关系，掌握二次函数、一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．

二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共24分）

9．因式分解：3a2﹣6a=　3a（a﹣2）　．

考点： 因式分解-提公因式法．

分析： 直接提取公因式3a，进而分解因式即可．

解答： 解：3a2﹣6a=3a（a﹣2）．

故答案为：3a（a﹣2）．

点评： 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．

10．若关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，则ab=　4　．

考点： 根与系数的关系．

分析： 根据根与系数的关系得到 ，通过解该方程组可以求得a、b的值．

解答： 解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a=0的两个实数根分别是2、b，

∴由韦达定理，得 ，

解得， ．

∴ab=1×4=4．

故答案是：4．

点评： 本题考查了根与系数的关系．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣ ，x1x2= ，反过来也成立，即 =﹣（x1+x2）， =x1x2．

11．在分别写有﹣1，0，1，2的四张卡片中随机抽取一张，所抽取的数字平方后等于1的概率为　 　．

考点： 概率公式．

分析： 让所抽取的数字平方后等于1的卡片数除以总卡片数即为所求的概率，即可选出．

解答： 解：因为﹣1，0，1，2的四张卡片中随机抽取一张，所抽取的数字平方后等于1有2张，

所以所抽取的数字平方后等于1的概率为 ，

故答案为：

点评： 本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．

12．如图，M、N分别是正方形ABCD边DC、AB的中点，分别以AE、BF为折痕，使点D、点C落在MN的点G处，则△ABG是　等边　三角形．

考点： 翻折变换（折叠问题）；等边三角形 的判定；正方形的性质．

分析： 由折叠的性质可知AG=AD，BG=BC，然后根据正方形的性质可知：AD=AB=BC，从而可知：AG=AB=BC．

解答： 解：由折叠的性质可知AG=AD，BG=BC，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB=BC．

∴AG=AB=BC．

∴△ABG是等边三角形．

故答案为：等边．

点评： 本题主要考查的是翻折的性质、等边三角形的判定和正方形的性质，由折叠的性质证得：AG=AD，BG=BC是解题的关键．

13．如图，AB是⊙O的直径，OB=3，BC是⊙O的弦，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接OD，若∠BAC=20°，则 的长等于　 π　．

考点： 弧长的计算；圆周角定理．

分析： 根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB=90°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC，然后根据角平分线的定义求出∠ABD，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的二倍求出∠AOD，然后根据弧长公式列式计算即可得解．

解答： 解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠BAC=20°，

∴∠ABC=90°﹣20°=70°，

∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，

∴∠ABD= ∠ABC= ×70°=35°，

∴∠AOD=2∠ABD=2×35°=70°，

∴ 的长= = π．

故答案为： π．

点评： 本题考查了弧长的计算，圆周角定理，直角三角形两锐角互余的性质，比较简单，熟记定理与公式并求出∠AOD的度数是解题的关键．

14．如图，平行四边形ABCD中，AB=AC=4，AB⊥AC，O是对角线的交点，若⊙O过A、C两点，则图中阴影部分的面积之和为　4　．

考点： 扇形面积的计算；平行四边形的性质．

分析： 先根据∠AOB=∠COD可知S阴影=S△AOB，再由平行四边形的性质得出OA= AC，由三角形的面积公式即可得出结论．

解答： 解：∵∠AOB=∠COD，

∴S阴影=S△AOB．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA= AC= ×4=2．

∵AB⊥AC，

∴S阴影=S△AOB= OAoAB= ×2×4=4．

故答案为 ：4．

点评： 本题考查的是扇形面积的计算，熟知平行四边形的对角线互相平分是解答此题的关键．

15．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是DC上一点，连接BE并延长交AD延长线于点F，请你只添加一个条件：　BD∥FC　使得四边形BDFC为平行四边形．

考点： 平行四边形的判定．

分析： 利用两组对边互相平行的四边形是平行四边形，进而得出答案．

解答： 解：∵AD∥BC，当BD∥FC时，

∴四边形BDFC为平行四边形．

故答案为：BD∥FC．

点评： 此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握判定方法是解题关键．

16．"梅花朵朵迎春来"，下面四个图形是由小梅花 摆成的一组有规律的图案，按图中规律，第n个图形中小梅花的个数是　（2n﹣1）（n+1）　．

考点： 规律型：图形的变化类．

分析： 第一个图形是由2个图形组成，第二个图形是由9个图形组成，第三个是由20个图形组成，找到规律则第n个的表达式能写出来．

解答： 解：第一个图案是由2个 组成：

即为：2=1×2；

第二个图案是由9个 组成：

即为：9=3×3；

第3个图案是由5×4=20个 组成：

即为：20=5×4；

第4个图案是由35个 组成：

即为：35=7×5；

以此类推：第n个图案 的个数：（2n﹣1）（n+1）．

故答案为：（2n﹣1）（n+1）．

点评： 本题考查图形的 变化规律，观察得出"每一行和每一列的个数的关系"是解题的关键．

三、解答题（在答题卡上解答，在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共10题，满分102分）

17．（6分）（计算：|﹣ |﹣（ ﹣π）0﹣sin30°+（﹣ ）﹣2．

考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

分析： 先分别根据绝对值的性质、0指数幂及负整数幂的计算法则、特殊角的三角函数值分别计算出各数的值，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．

解答： 解：原式= ﹣1﹣ +4

=3．

点评： 本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质、0指数幂及负整数幂的计算法则、特殊角的三角函数值是解答此题的关键．

18．（6分）解二元一次方程组： ．

考点： 解二元一次方程组．

专题： 计算题．

分析： 方程组利用加减消元法求出解即可．

解答： 解： ，

①×2+②得：7x=14，即x=2，

把x=2代入①得：y=﹣3，

则方程组的解为 ．

点评： 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，4），B（﹣4，2），C（﹣2，1），且△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称．

（1）画出△A1B1C1，并写出A1的坐标；

（2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，△ABC经平移后点P的对称点P′（a+3，b+1），请画出平移后的△A2B2C2．

考点： 作图-旋转变换；作图-平移变换．

分析： （1）首先作出A、B、C的对应点，然后顺次连接即可求得；

（2）把△ABC的三个顶点分别向右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度即可得到对应点，然后顺次连接即可．

解答： 解：（1）如图所示：

A1的坐标是（3，﹣4）；

（2）△A2B2C2是所求的三角形．

点评： 本题考查了图形的对称和图形的平移，理解P（a，b）的对称点P′（a+3，b+1），即把已知的点向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度即可得到对应点是关键．

20．（10分）如图，在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30 °，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为60°，CD⊥AB与点E，E、B、A在一条直线上．请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度（结果保留整数， ≈1.7， ≈1.4 ）

考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

分析： 利用30°的正切值即可求得AE长，进而可求得CE长．CE减去DE长即为信号塔CD的高度．

解答： 解：根据题意得：AB=18，DE=18，∠A=30°，∠EBC=60°，

在Rt△ADE中，AE= = =18

∴BE=AE﹣AB=18 ﹣18，

在Rt△BCE中，CE=BEotan60°=（18 ﹣18） =54﹣18 ，

∴CD=CE﹣DE=54﹣18 ﹣18≈5米．

点评： 本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形；难点是充分找到并运用题中相等的线段．

21．（10分）中学生上学带手机的现象越来越受到社会的关注，为此媒体记者随机调查了某校若干名学生上学带手机的目的，分为四种类型：A接听电话；B收发短信；C查阅资料；D游戏聊天．并将调查结果绘制成图1和图2的统计图（不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）此次抽样调查中，共调查了　200　名学生；

（2）将图1、图2补充完整；

（3）现有4名学生，其中A类两名，B类两名，从中任选2名学生，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）．

考点： 列表法与树状 图法；扇形统计图；条形统计图．

专题： 计算题；数形结合．

分析： （1）用A类的人数除以该类所占的百分比即可得到总人数；

（2）分别计算出B、D两类人数和C、D两类所占百分比，然后补全统计图；

（3）先画树状图展示所有有12种等可能的结果数，再找出两名学生为同一类型的结果数，然后根据概率公式求解．

解答： 解：（1）100÷50%=200，

所以调查的总人数为200名；

故答案为200；

（2）B类人数=200×25%=50（名）；D类人数=200﹣100﹣50﹣40=10（名）；

C类所占百分比= ×100%=20%，D类所占百分比= ×100%=5%，

如图：

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中两名学生为同一类型的结果数为4，

所以这两名学生为同一类型的概率= = ．

点评： 本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了扇形统计图和条形统计图．

22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．

（1）求证：PB是的切线．

（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径．

考点： 切线的判定与性质．

专题： 计算题．

分析： （1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似，利用相似三角形对应角相等得到∠OBP为直角，即可得证；

（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则有OD=8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．

解答： （1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，

∴∠OBP=∠E=90°，

∵OB为圆的半径，

∴PB为圆O的切线；

（2）解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，

根据勾股定理得：PD= =10，

∵PD与PB都为圆的切线，

∴PC=PB=6，

∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4，

在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8﹣r，

根据勾股定理得：（8﹣r）2=r2+42，

解得：r=3，

则圆的半径为3．

点评： 此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．

23．（12分）如图，直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，过点C作CD⊥x轴，点P是x轴下方直线CD上的一点，且△OCP与△OBC相似，求过点P的双曲线解析式．

考点： 相似三角形的判定与性质；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式．

分析： 由直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，易得OC=2，OB=4，再分两种情况①当∠OBC=∠COP时，△OCP与△OBC相似，②当∠OBC=∠CPO时，△OCP与△OBC相似分别求出点的坐标，再求出过点P的双曲线解析式．

解答： 解：∵直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，

∴令y=0，可得﹣2x+4=0，解得x=2，即C（2，0） ，OC=2，

令x=0，可得y=4，即B（0，4），OB=4，

①如图1，当∠OBC=∠COP时，△OCP与△OBC相似，

∴ = ，即 = ，解得CP=2，

∴P（2，﹣1），

设过点P的双曲线解析式y= ，把P点代入得﹣1= ，解得k=﹣2，

∴过点P的双曲线解析式y= ，

②如图2，当∠OBC=∠CPO时，△OCP与△OBC相似，

在△OC P和△COB中，

∴△OCP≌△COB（AAS）

∴CP =BO=4，

∴P（2，﹣4）

设过点P的双曲线解析式y= ，把P点代入得﹣4= ，解得k=﹣8，

∴过点P的双曲线解析式y= ，

点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，待定系数求反比例函数，解题的关键是分两种情况正确画出图形．

24．（12分）李老师家距学校1900 米，某天他步行去上班，走到路程的一半时发现忘带手机，此时离上班时间还有23分钟，于是他立刻步行回家取手机，随后骑电瓶车返回学校．已知李老师骑电瓶车到学校比他步行到学校少用20分钟，且骑电瓶车的平均速度是步行速度的5倍，李老师到家开门、取手机、启动电瓶车等共用4分钟．

（1）求李老师步行的平均速度；

（2）请你判断李老师能否按时上班，并说明理由．

考点： 分式方程的应用．菁优网版权所有

分析： （1）设李老师步行的平均速度为xm/分钟，骑电瓶车的平均速度为5xm/分钟，根据题意可得，骑电瓶车走1900米所用的时间比步行少20分钟，据此列方程求解；

（2）计算出李老师从步行回家到骑车回到学校所用的总时间，然后和23进行比较即可．

解答： 解：（1）设李老师步行的平均速度为xm/分钟，骑电瓶车的平均速度为5xm/分钟，

由题意得， ﹣ =20，

解得：x=76，

经检验，x=76是原分式方程的解，且符合题意，

则5x=76×5=380，

答：李老师步行的平均速度为76m/分钟，骑电瓶车的平均速度为380m/分；

（2）由（1）得，李老师走回家需要的时间为： =12.5（分钟），

骑车走到学校的时间为： =5，

则李老师走到学校所用的时间为：12.5+5+4=21.5＜23，

答：李老师能按时上班．

点评： 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．

25．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．

（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；

（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；

（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最 小值，最小值是多少？

考点： 几何变换综合题．

分析： （1）如答图1，连接BD．根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE，然后证明△ADF≌△BDE（ASA），得DF=DE；

（2）如答图2，连接BD．根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE，然后证明△ADF≌△BDE（ASA），得DF=DE；

（3）根据（2）中的△ADF≌△BDE得到：S△ADF=S△BDE，AF=BE．所以△DEF的面积转化为：y=S△BEF+S△ABD．据此列出y关于x的二次函数，通过求二次函数的最值来求y的最小值．

解答： 解：（1）DF=DE．理由如下：

如答图1，连接BD．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB．

又∵∠A=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴AD=BD，∠ADB=60°，

∴∠DBE=∠A=60°

∵∠EDF=60°，

∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF与△BDE中， ，

∴△ADF≌△BDE（ASA），

∴DF=DE；

（2）DF=DE．理由如下：

如答图2，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB．

又∵∠A=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴AD=BD，∠ADB=60°，

∴∠DBE=∠A=60°

∵∠EDF=60°，

∴∠ADF=∠BDE．

∵在△ADF与△BDE中， ，

∴△ADF≌△BDE（ASA），

∴DF=DE；

（3）由（2）知，△ADF≌△BDE．则S△ADF=S△BDE，AF=BE=x．

依题意得：y=S△BEF+S△ABD= （2+x）xsin60°+ ×2×2sin60°= （x+1）2+ ．即y= （x+1）2+ ．

∵ ＞0，

∴该抛物线的开口方向向上，

∴当x=0即点E、B重合时，y最小值= ．

点评： 本题考查了几何变换综合题，解题过程中，利用了三角形全等的判定与性质，菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，对于促进角与角（边与边）相互转换，将未知角转化为已知角（未知边转化为已知边）是关键．

26．（14分）（2015o赤峰）已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．

（1）求此二次函数解析式；

（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；

（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题．菁优网版权所有

分析： （1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函数y=ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；

（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；

（3）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．

解答： 解：（1）∵二次函数y=ax2 +bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），

∴根据 题意，得 ，

解得 ，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．

（2）由y=﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），

∴CD= = ，

BC= =3 ，

BD= =2 ，

∵CD2+BC2=（ ）2+（3 ）2=20，BD2=（2 ）2=20，

∴CD2+BC2=BD2，

∴△BCD是直角三角形；

（3）存在．CD2+BC2=（ ）2+（3 ）2=20，BD2=（2 ）2=

y=﹣x2+2x+3对称轴为直线x=1．

①若以CD为底边，则PD=PC，

设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，

得x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，

即y=4﹣x．

又P点（x，y）在抛物线上，

∴4﹣x=﹣x2+2x+3，

即x2﹣3x+1=0，

解得x1= ，x2= ＜1，应舍去，

∴x= ，

∴y=4﹣x= ，

即点P坐标为（ ， ）．

②若以CD为一腰，

∵点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，

此时点P坐标为（2，3）．

∴符合条件的点P坐标为（ ， ）或（2，3）．

点评： 此题是一道典型的"存在性问题"，结合二次函数图象和等腰三角形、直角梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．