教学内容：

北师大版小学数学五年级上册第8283页的内容。

教学目标：

1、结合具体的图形，明确什么是点阵，了解点阵的基本知识。

2、能在具体的观察活动中，发现点阵中隐藏的规律，体会图形与数的联系。

3、培养学生观察、概括与推理的能力。

4、了解数学发展的历史，感受数学文化的魅力。

教学重点：

通过观察活动，引导学生探索发现点阵中隐藏的规律。

教学难点：

能从不同的角度观察到点阵图形的不同排列规律，并能把观察到的规律用算式表示出来。

教学准备：

（师）多媒体课件；（生）彩笔。

教学过程：

一、谈话引入

（老师在黑板上画点）今天给大家请来了一位图形朋友点，不要小看了这个小小的点，早在2000多年前，古希腊的数学家们就是从这样一个小小的点开始研究，发现了由许多个这样的点组成的点子图形中的规律，还给这些图形取了一个好听的名字，叫点阵。同学们想不想过一把当数学家的瘾，自己来寻找这些规律？今天，我们就一起来探究点阵中隐含的规律。（板书课题：点阵中的规律）

二、探究正方形点阵中的规律

1、探究正方形点阵的规律。

（1）我们一起来看看数学家们当年研究的点阵图，边看边说出各个点阵的点子数。

教师依次出示前四个正方形点阵图，并逐步引导学生想像、猜测：下一个点阵图会是什么样子呢？

（随着点阵图的依次出现，学生的思维逐渐活跃，当第三个点阵图出现的时候，学生已经忍不住地说出了点数。说明学生已经发现了正方形点阵中的规律。但这时，教师没有急于让学生发表自己的看法，而是给学生留出了完善自己想法的时间，同时也暗示学生：规律的呈现不能依靠一个或几个图形来归纳，应该有耐心地继续自己的观察活动。）

（2）除了能说出各个点阵的点数之外，仔细观察点阵图：你还有什么其它的发现？

（学生能够发现各个点阵的形状是正方形的，还能用11、22、33、44这样的算式来表示每个点阵的点数。）

（3）根据刚才发现的规律，想：第五个点阵是什么样子，独立画出来，并用算式表示点数。

（学生独立画出第五个55的点阵图）

（4）思考：照这样的规律继续画下去，第100个点阵的点数如何用算式来表示？第n个呢？

（结合发现的规律，引导学生逐步完善自己的想法，建立总结正方形点阵规律的模型。）

小组讨论：你觉得每个正方形点阵的点子总数与什么有关系？

（学会用简单的语言表述自己的想法，使得初步的形象感知得到提升）

小结：每个正方形点阵的点子总数可以看作是一个相同数字相乘的积，这个数字与点阵的序号有关，与每个正方形点阵每排的点子数也有关系。

2、刚才我们研究了一组正方形点阵中隐含的规律，那么对于同一个点阵来说，如果划分的方法不同，所呈现的规律也就不同。

（1）请大家仔细观察第五个正方形点阵中点的划分方法，你能发现什么规律？

学生会有如下发现

①是用折线划分开的。

②每条线内的点分别是1、3、5、7、9。

③这个正方形点阵的点数就可以表示为：1＋3＋5＋7＋9=25。

（2）如果把每条线所包围的点子数记下来，如何用算式来表示？

第一条线： 1 = 1；

第二条线： 1＋3 = 4；

第三条线： 1＋3＋5 = 9；

第四条线： 1＋3＋5＋7 = 16；

第五条线： 1＋3＋5＋7＋9 = 25；

（3）每条线所包围的点子数与前面研究的一组正方形点阵的点子数有什么关系？（正好是第一到第五个点阵的点子数。）

（第二、三个问题需要老师引导，学生自己难以发现，尤其是第三个问题，学生很难想到它们和开始时依次出现的几个正方形点阵的点数之间的关系。当学生想不到这种联系时，是否一定要引导？）

（4）思考：表示这个正方形点阵的点数的算式有什么特点？

（这个点阵的点子总数可以看作是连续奇数的和。）

（5）如果按这样的划分方法划分第六个正方形点阵，它的点数该如何表示？

1＋3＋5＋7＋9＋11 ＝ 36；

（6）前面老师是把这个55的正方形点阵用折线进行了划分，你们还有哪些不同的划分的方法？在用算式表示上有什么规律？

学生的划分有以下几种

①横向划分：用算式表示为5＋5＋5＋5＋5；

②竖向划分：用算式表示为5＋5＋5＋5＋5；

③斜向划分：用算式表示为1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1；

至于前面两种方法，都可以简单地表示为：55；重点引导学生讨论第三种划分方法，观察这个算式，你们发现了什么？

学生的发现如下

算式里最大的数是5；

从1开始加到5再加回到1；

这个算式是两边对称的；

这个点阵的点数是中间那个数字5乘5的积；

教师引导：照这样的规律类推，第六个正方形点阵的点数如何表示？第9个呢？第n个呢？

（在这里把寻找不同划分方法的任务交给学生，既是学生前面探究过程思维的延续，又体现了学生学习的自主性，还用另一种方式解读了练一练中的第一题。培养了学生从不同的角度去发现问题，总结概括规律的能力。）

三、延伸应用，形成策略

1、除了我们刚才研究的正方形点阵，请大家猜猜看，还会有什么形状的点阵呢？

（学生列举了长方形点阵、三角形点阵、圆形点阵、椭圆形点阵等等。）

2、请大家尝试运用前面学会的方法探究长方形点阵规律。

（1）小组合作研究：如何用算式表示每个长方形点阵的点子数？

学生通过讨论很快达成共识

12；23；34；45；

（2）请你独立画出第五个长方形点阵并用算式表示出点数。

（学生独立画图并写出算式，互相交流。）

算式表示为：56；

（3）思考讨论：你们觉得自己所写的算式中的数字与图形中的点子之间有什么关系？

（学生的发现为：乘法算式中的第二个因数总是比第一个因数多 1，第一个因数是长方形点阵的竖排点数，第二个因数是长方形点阵的横排点数。并没有发现第一个因数与点阵序号间的关系，因此，当要求他们写出18个点阵的点数时，出现了两种不同的答案：1718、1819。在争论各自的理由时，学生的注意力才联系到了点阵的序号与算式的关系，从而确定了正确答案。）

（4）照这样继续写，你能写出第n个长方形点阵的点数吗？

学生可以很顺利地写出：n（n＋1）。

3、看来对于任何一个点阵，只要我们认真观察研究，总能发现其独特的规律。在小组内研究三角形点阵中的规律，要求

（1）个人思考活动：观察给出的四个三角形点阵的规律，画出第五个三角形点阵。

（2）小组讨论：对自己画出的第五个三角形点阵进行划分，你能想到哪些不同的划分方法？分别用算式表示点数。

（学生活动）

全班交流

划分一：横向划分，1＋2＋3＋4＋5＝15；

划分二：竖向划分，1＋2＋3＋4＋5＝15；

划分三：斜向划分，1＋2＋3＋4＋5＝15；

划分四：折线划分，1＋5＋9＝15；

（对于前面的三种划分方法，都在我的预设之内，学生到此，已经很轻松地用语言表述出自己的想法：这样的三角形点阵的点数是从1开始的连续自然数的和。而对于第四种划分方法，是我没有想到的。有一个孩子却用非常强烈地要求，表达了自己的这种划分方法，并且说出了这个算式依次递加4的规律。）

4、同学们真了起！真正具有未来数学家的风范，用自己的聪明才智，发现并总结了各个不同的点阵图中隐藏的规律。那么你觉得应该从哪些方面来探究点阵的规律？

学生交流

仔细观察点阵的形状；

数清每一行的点子数；

看清前后两个点阵的变化

（在这里不需要学生说出多么专业的、深奥的数学原理，只是引导学生对自己探究性学习方法的一个总结，尽管语言可能不够简练，总结不够到位，只要学生用自己的语言在表述，就是对学生思维训练的一个提升，一种飞越。）

四、课堂总结

1、点阵的知识在生活中有着广泛的应用，比如北京奥运会开幕式上的击缶表演、太极表演等，都是把一个人看作了一点，来排列有规律的队形。你还知道什么地方运用了点阵的相关知识？

学生交流

五子棋、阅兵式的方队、节日的花坛

2、课后继续搜集点阵的相关资料，下节课继续交流。

（在这里，把学生的课堂学习延伸到生活，链接到学生已有的相关生活经验，然后让学生在生活中继续寻找哪里用到点阵的知识，体现了数学与生活的密切联系，数学来源于生活，又应用于生活。）